Calcule
f(x, y)=y^{2}
C : curva x=t, y=t^{2}, 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=y^{2} e a curva C parametrizada por
x(t)=t,\qquad y(t)=t^{2},\qquad 0\le t\le 1.
A frase "Calcule f(x,y)=y^{2} C : curva x=t, y=t^{2}, 0\le t\le1" é curta e ambígua: pode significar várias coisas (por exemplo, avaliar a função ao longo da curva ou calcular uma integral ao longo da curva). Vou assumir a interpretação mais direta e típica neste contexto: calcular a restrição (ou composição) da função f à curva C, isto é, encontrar f(x(t),y(t)) como função de t. Esta escolha é natural porque com os dados fornecidos é sempre possível computar f ao longo da parametrização sem informações adicionais.

Passo 2

Lembrete prático: quando se pede "avaliar uma função f(x,y) numa curva parametrizada (x(t),y(t))", faz-se a composição f\circ r, isto é,
(f\circ r)(t)=f(x(t),y(t)).
Isso transforma a função de duas variáveis numa função de uma única variável t. É um procedimento direto: substituir x e y pelas expressões em t.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso. Temos y(t)=t^{2}. Então, substituindo em f(x,y)=y^{2},
f(x(t),y(t))=\big(y(t)\big)^{2}=\big(t^{2}\big)^{2}.

Passo 4

Calcular a potência:
\big(t^{2}\big)^{2}=t^{4}.
Portanto a função f ao longo da curva C fica simplesmente t^{4}.

Passo 5

Observações úteis para a prova (para consolidar): a composição produz uma função de t definida no mesmo intervalo da parametrização; aqui 0\le t\le1, então f\circ r varia de t^{4} com t\in[0,1]. Em particular os valores nos extremos são
(f\circ r)(0)=0^{4}=0,\qquad (f\circ r)(1)=1^{4}=1.
Também, usando x=t ao invés de t, pode-se ver que ao longo da curva y=x^{2} e, portanto, f restrita à curva pode ser escrita como f|_{C}(x)=x^{4}.

Resposta

\,f(x(t),y(t))=t^{4},\quad 0\le t\le1.
\,f|_{C}(x)=x^{4}.

Exercícios relacionados