Calcule
: curva
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e a curva
parametrizada por
A frase "Calcule
: curva
" é curta e ambígua: pode significar várias coisas (por exemplo, avaliar a função ao longo da curva ou calcular uma integral ao longo da curva). Vou assumir a interpretação mais direta e típica neste contexto: calcular a restrição (ou composição) da função
à curva
, isto é, encontrar
como função de
. Esta escolha é natural porque com os dados fornecidos é sempre possível computar
ao longo da parametrização sem informações adicionais.
Passo 2
Lembrete prático: quando se pede "avaliar uma função
numa curva parametrizada
", faz-se a composição
, isto é,
Isso transforma a função de duas variáveis numa função de uma única variável
. É um procedimento direto: substituir
e
pelas expressões em
.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso. Temos
. Então, substituindo em
,
Passo 4
Calcular a potência:
Portanto a função
ao longo da curva
fica simplesmente
.
Passo 5
Observações úteis para a prova (para consolidar): a composição produz uma função de
definida no mesmo intervalo da parametrização; aqui
, então
varia de
com
. Em particular os valores nos extremos são
Também, usando
ao invés de
, pode-se ver que ao longo da curva
e, portanto,
restrita à curva pode ser escrita como
.