Calcule f(x+h, y)-f(x, y)h, h neq 0 nos casos em que f(x, y)=x^5-3 x^3 y^2-x+1 e quando f(x, y)=xx-y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o quociente de diferenças f(x+h, y)-f(x, y)h com h neq 0 em duas funções de variáveis x e y. O conteúdo envolvido é o cálculo de quociente de diferenças e vamos precisar usar expansão binomial e manipular expressões algébricas.

Passo 2

Para f(x,y) = x^5 - 3x^3y^2 - x + 1, calculamos f(x+h,y) pela substituição x mapsto x+h:
f(x+h,y) = (x+h)^5 - 3(x+h)^3 y^2 - (x+h) + 1
Usando a expansão binomial temos (x+h)^5 = x^5 + 5x^4h + 10x^3h^2 + 10x^2h^3 + 5xh^4 + h^5 e (x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3. Então
f(x+h,y) = x^5 + 5x^4h + 10x^3h^2 + 10x^2h^3 + 5xh^4 + h^5 - 3l(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3r)y^2 - x - h + 1
Subtraindo f(x,y)=x^5 - 3x^3y^2 - x +1 e dividindo por h, o numerador vira
5x^4h + 10x^3h^2 + 10x^2h^3 + 5xh^4 + h^5 - 9x^2y^2h - 9xy^2h^2 - 3y^2h^3 - h
e, ao dividir por h e coletar termos, resulta em
5x^4 - 9x^2y^2 - 1 + (10x^3 - 9xy^2)h + (10x^2 - 3y^2)h^2 + 5xh^3 + h^4

Passo 3

Para f(x,y)=xx-y, primeiro
f(x+h,y) = x+hx+h-y
Assim o quociente de diferenças é
f(x+h,y)-f(x,y)h = x+hx+h-y - xx-yh
No numerador combinamos frações:
x+hx+h-y - xx-y = (x+h)(x-y) - x(x+h-y)(x+h-y)(x-y)
Expandindo e simplificando esse numerador obtém-se -hy), logo
f(x+h,y)-f(x,y)h = -hyh,(x+h-y)(x-y) = -y(x+h-y)(x-y)

Passo 4

Pronto! Encontramos as expressões do quociente de diferenças para cada função, em termos de x, y e h.

Resposta

Para f(x,y)=x^5-3x^3y^2-x+1:
f(x+h,y)-f(x,y)h = 5x^4 - 9x^2y^2 - 1 + (10x^3 - 9xy^2)h + (10x^2 - 3y^2)h^2 + 5xh^3 + h^4
Para f(x,y)=xx-y:
f(x+h,y)-f(x,y)h = -y(x+h-y)(x-y)

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