Calcule o fator de empacotamento atômico do NaCl .

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o fator de empacotamento atômico (APF) do NaCl.
Informações relevantes que vamos usar (não foi dada pelo enunciado, então uso valores típicos de raios iônicos para coordenação 6):
  • O sólido NaCl tem estrutura tipo halita (rock-salt): são duas redes FCC entrepenetrantes (cada íon tem coordenação 6) e a célula unitária cúbica convencional contém 4 fórmulas de NaCl (ou seja, 4 \mathrm{Na}^+ e 4 \mathrm{Cl}^-).
  • A distância entre vizinhos imediatos (uma ligação \mathrm{Na}^+-\mathrm{Cl}^-) na célula é a/2, onde a é a aresta da célula. Assim a relação entre a e os raios iônicos é
a = 2\left(r_{\mathrm{Na}} + r_{\mathrm{Cl}}\right).
  • Usarei os raios iônicos típicos (coordenação 6, valores de Shannon): r_{\mathrm{Na}}=1,02\\ \text{\AA} e r_{\mathrm{Cl}}=1,81\\ \text{\AA}.

Passo 2

Definição do fator de empacotamento atômico (APF).
O APF é a fração do volume da célula unitária ocupado pelas esferas dos íons:
\text{APF}=\frac{\text{volume total das esferas na célula}}{\text{volume da célula}}.éé
Na célula de NaCl há 4 íons \mathrm{Na}^+ e 4 íons \mathrm{Cl}^-. Tomando cada íon como esfera de raio respectivo, o volume total das esferas é
V_{\text{sferas}}=4\cdot\frac{4}{3}\pi r_{\mathrm{Na}}^{3}+4\cdot\frac{4}{3}\pi r_{\mathrm{Cl}}^{3} =\frac{16}{3}\pi\left(r_{\mathrm{Na}}^{3}+r_{\mathrm{Cl}}^{3}\right).

Passo 3

Volume da célula unitária cúbica e relação com os raios.
O volume da célula é V_{\text{célula}}=a^{3}é. Usando a=2(r_{\mathrm{Na}}+r_{\mathrm{Cl}}) obtemos
V_{\text{célula}}=8\left(r_{\mathrm{Na}}+r_{\mathrm{Cl}}\right)^{3}.é

Passo 4

Montando a expressão do APF em função dos raios iônicos.
Substituindo V_{\text{sferas}} e V_{\text{célula}}é na definição,
\text{APF}=\frac{\dfrac{16}{3}\pi\left(r_{\mathrm{Na}}^{3}+r_{\mathrm{Cl}}^{3}\right)}{8\left(r_{\mathrm{Na}}+r_{\mathrm{Cl}}\right)^{3}} =\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{r_{\mathrm{Na}}^{3}+r_{\mathrm{Cl}}^{3}}{\left(r_{\mathrm{Na}}+r_{\mathrm{Cl}}\right)^{3}}.
Esta fórmula mostra que o APF do NaCl depende da razão entre os raios iônicos; não é um valor universal fixo como para rede FCC de esferas iguais.

Passo 5

Substituição dos valores numéricos dos raios e cálculo intermediário.
Usando r_{\mathrm{Na}}=1,02\\ \text{\AA} e r_{\mathrm{Cl}}=1,81\\ \text{\AA}:
r_{\mathrm{Na}}^{3}=1{,}02^{3}=1{,}061208\\ \text{\AA}^{3},
r_{\mathrm{Cl}}^{3}=1{,}81^{3}=5{,}929441\\ \text{\AA}^{3},
r_{\mathrm{Na}}^{3}+r_{\mathrm{Cl}}^{3}=1{,}061208+5{,}929441=6{,}990649\\ \text{\AA}^{3},
r_{\mathrm{Na}}+r_{\mathrm{Cl}}=1{,}02+1{,}81=2{,}83\\ \text{\AA},
\left(r_{\mathrm{Na}}+r_{\mathrm{Cl}}\right)^{3}=2{,}83^{3}=22{,}665187\\ \text{\AA}^{3}.

Passo 6

Cálculo do APF numérico.
Agora aplicando a fórmula
\text{APF}=\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{6{,}990649}{22{,}665187}.
Calculemos a fração:
\frac{6{,}990649}{22{,}665187}=0{,}308457\ldots
e
\frac{2\pi}{3}=2{,}094395\ldots
Multiplicando,
\text{APF}=2{,}094395\cdot0{,}308457\approx0{,}646.

Passo 7

Interpretação e observações práticas.
  • Com os raios iônicos típicos escolhidos, o APF do NaCl fica aproximadamente 0{,}646 (ou 64{,}6\% do volume da célula ocupado por esferas dos íons).
  • Observação: se em vez de usar os raios teóricos usar-se a constante de rede experimental a (por exemplo a\approx5{,}64\\ \text{\AA}), o resultado numérico fica muito próximo (diferenças pequenas devido às escolhas de raios e efeitos cristalográficos), tipicamente cerca de 0{,}65. Isso confirma que o valor calculado é razoável.

Resposta

0{,}646

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