Quantos átomos por milímetro quadrado existem em uma face (100) de um cristal de cobre, considerando um parâmetro de rede \mathrm{a}_{0}=3,60 \AA.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede: quantos átomos por milímetro quadrado existem em uma face (100) de um cristal de cobre.
  • Dado: parâmetro de rede \,a_{0}=3,60\\ \text{\AA}.
  • Informação necessária (assumida porque é propriedade do cobre cristalino): o cobre cristaliza na estrutura cúbica de faces centradas (FCC).
    Vou usar esses dados para calcular a densidade superficial de átomos na face (100).

Passo 2

Entendendo a geometria da face (100) em uma rede FCC e como contar átomos por célula de superfície:
  • No sistema FCC, a face (100) corresponde a um arranjo quadrado repetitivo com lado igual a a_{0}.
  • Considere a célula de superfície como um quadrado de área a_{0}^{2}.
  • Dentro desse quadrado na rede FCC há:
    • quatro átomos nos quatro cantos do quadrado; cada átomo de canto é compartilhado por quatro quadrados vizinhos no plano, logo contribui com \tfrac{1}{4} para a célula de superfície;
    • um átomo no centro do quadrado proveniente do átomo de face (o átomo da face está inteiramente no plano da face e, para a contagem da camada superficial, conta como 1 por célula de superfície).
  • Soma das contribuições por célula de superfície:
4\cdot\frac{1}{4}+1=1+1=2.
  • Portanto, o número de átomos por área a_{0}^{2} (por célula de superfície) é 2. A densidade superficial de átomos na face (100) é
\sigma=\frac{2}{a_{0}^{2}}.
Aqui \sigma é o número de átomos por unidade de área na mesma unidade de área usada para a_{0}^{2}.

Passo 3

Converter o parâmetro de rede para milímetros e expressar a_{0}^{2} em \text{mm}^2:
  • Conversões: 1\\ \text{\AA}=1\times10^{-10}\,\text{m}=1\times10^{-7}\,\text{mm}.
  • Assim
a_{0}=3,60\\ \text{\AA}=3,60\times10^{-7}\,\text{mm}.
  • Calcular a_{0}^{2}:
a_{0}^{2}=(3,60\times10^{-7})^{2}=12,96\times10^{-14}=1,296\times10^{-13}\,\text{mm}^{2}.

Passo 4

Calcular a densidade superficial \sigma em átomos por \text{mm}^{2}:
\sigma=\frac{2}{a_{0}^{2}}=\frac{2}{1,296\times10^{-13}}=\frac{2}{1,296}\times10^{13}\approx1,5432098765\times10^{13}\\ \text{átomos/mm}^{2}.á
Arredondando com base em a_{0}=3,60 (três algarismos significativos), fica
\sigma\approx1,54\times10^{13}\\ \text{átomos/mm}^{2}.á

Passo 5

Interpretação rápida e dica de prova:
  • Resultado prático: a face (100) do Cu (FCC) tem cerca de 1{,}5\times10^{13} átomos em cada \text{mm}^{2}.
  • Em prova: identifique a estrutura cristalina (FCC), conte átomos na célula de superfície (corners e center) para obter o numerador (aqui 2) e converta a_{0} para a unidade de área pedida antes de calcular \sigma.

Resposta

1,54\times10^{13}\\ \text{átomos/mm}^{2}á

Exercícios relacionados