Uma chapa de ferro CCC, com 2 mm de espessura, foi exposta a 675^{\circ} \mathrm{C}, a uma atmosfera gasosa carbonetante em um de seus lados e uma atmosfera descarbonetante no outro lado. Após atingir a condição de regime estacionário, o ferro foi resfriado rapidamente até a temperatura ambiente. As concentrações de carbono nas duas superfícies da chapa foram determinadas como 0,015 e 0,0068 \% p. Calcule o coeficiente de difusão se o fluxo de difusão é de 7,36 \times 10^{-9} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~s}.
9. Determine o tempo de carbonetação necessário para atingir uma concentração de carbono de 0,30 \% p em uma posição a 4 mm da superfície de chapa uma ferro-carbono contendo inicialmente 0,10 \% \mathrm{p} \mathrm{C}. A concentração na superfície deve ser mantida em 0,90 \% p C e tratamento conduzido a 1100^{\circ} \mathrm{C}. Utilize os dados da tabela abaixo.
\frac{c_{x}-c_{0}}{c_{s}-c_{0}}=1-\operatorname{erf}\left(\frac{x}{2 \sqrt{D t}}\right),
nhecida como segunda lei de Fick,
\frac{\partial c_{x}}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(D \frac{\partial c_{x}}{\partial x}\right)
Para muitos problemas práticos, pode-se assumir que D é independente de c, levando a uma versão simplificada da Equação 5.9:
\frac{\partial c_{x}}{\partial t}=D \frac{\partial^{2} c_{x}}{\partial x^{2}}
Table 1: Tabela 5.1 A função de erro
\captionsetup{labelformat=empty}
z \boldsymbol{\operatorname { e r f }}(\boldsymbol{z}) z \boldsymbol{\operatorname { e r f }}(\mathbf{z})
0,00 0,0000 0,70 0,6778
0,01 0,0113 0,75 0,7112
0,02 0,0226 0,80 0,7421*
0,03 0,0338 0,85 0,7707
0,04 0,0451 0,90 0,7969
0,05 0,0564 0,95 0,8209
0,10 0,1125 1,00 0,8427
0,15 0,1680 1,10 0,8802
0,20 0,2227 1,20 0,9103
0,25 0,2763 1,30 0,9340
0,30 0,3286 1,40 0,9523
0,35 0,3794 1,50 0,9661
0,40 0,4284 1,60 0,9763
0,45 0,4755 1,70 0,9838
0,50 0,5205 1,80 0,9891
0,55 0,5633 1,90 0,9928
0,60 0,6039 2,00 0,9953
0,65 0,6420
Fonte: Handbook of Mathematical Functions, M. Abramowitz e I.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede em cada parte (vou indicar também uma suposição necessária quando um dado não foi fornecido):
Dados do problema (parte 1 — regime estacionário)
  • Espessura da chapa: 2\\ \mathrm{mm} = 0{,}002\\ \mathrm{m}.
  • Concentração de carbono na superfície carbonetante: 0{,}015\\ \%\\ \text{p}.
  • Concentração de carbono na superfície descarbonetante: 0{,}0068\\ \%\\ \text{p}.
  • Fluxo de difusão (fluxo de massa de carbono): J = 7{,}36\times10^{-9}\\ \mathrm{kg\,m^{-2}\,s^{-1}}.
  • Pedido: calcular o coeficiente de difusão D (assumindo regime estacionário e gradiente linear).
Observação importante (parte 1)
  • O enunciado não dá a densidade do material. Para relacionar porcentagem em massa com concentração em massa por volume (necessário para usar a Lei de Fick no formato J=-D\,\mathrm{d}c/\mathrm{d}x) é preciso a densidade. Vou adotar a suposição física usual para ferro/ferro-carbono: \rho = 7870\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.Se preferir outro valor (por ex. 7800\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}), o resultado numérico muda um pouco; mas usar 7870 é padrão.
Dados do problema (parte 2 — carbonetação tempo)
  • Posição onde se quer a concentração: x = 4\\ \mathrm{mm} = 0{,}004\\ \mathrm{m}.
  • Concentração inicial do material: c_0 = 0{,}10\\ \%\\ \text{p}.
  • Concentração desejada nessa posição: c_x = 0{,}30\\ \%\\ \text{p}.
  • Concentração mantida na superfície: c_s = 0{,}90\\ \%\\ \text{p}.
  • Temperatura do tratamento: 1100^{\circ}\mathrm{C}.
  • Relação fornecida (solução da segunda lei de Fick para semi-infinito com superfície mantida em concentração constante): \frac{c_x-c_0}{c_s-c_0}=1-\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right).
Pedido (parte 2)
  • Determinar o tempo t necessário para que c_x=0{,}30\% a x=4\\ \mathrm{mm}, à temperatura indicada.
Observação importante (parte 2)
  • O enunciado indica “Utilize os dados da tabela abaixo”, mas a tabela enviada contém apenas valores da função erro \operatorname{erf}(z). Não foi fornecido o valor do coeficiente de difusão D à temperatura 1100^{\circ}\mathrm{C}. O cálculo numérico do tempo exige justamente esse D. Portanto:
    • Não é possível fornecer o valor numérico de t sem o valor de D à temperatura 1100^{\circ}\mathrm{C} (ou uma expressão/valor fornecido).
    • Posso, no entanto, mostrar passo a passo como calcular t a partir de D e calcular a constante adimensional z (usando a tabela de \operatorname{erf}) — e indicar um cálculo exemplo se for usado um D qualquer.

Passo 2

Resolução detalhada da parte 1 (cálculo de D) — explicando cada passo e a teoria usada.
Teoria curta e aplicada (física e fórmulas)
  • A Lei de Fick no regime estacionário (primeira lei de Fick) diz que o fluxo de massa de um soluto é proporcional ao gradiente de concentração: J = -D\,\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x},onde
    • J é o fluxo de massa do soluto (aqui: massa de carbono por unidade de área por unidade de tempo), em \mathrm{kg\,m^{-2}\,s^{-1}};
    • D é o coeficiente de difusão, em \mathrm{m^{2}\,s^{-1}};
    • c é a concentração em massa por volume (kg de carbono por m^3 de sólido);
    • x é a coordenada espacial (m).
  • Em regime estacionário, com gradiente aproximadamente linear entre as duas superfícies separadas por L, aproxima-se \mathrm{d}c/\mathrm{d}x \approx (c_{\text{lado1}}-c_{\text{lado2}})/L. Substituindo e isolando D temos: D=\frac{J\,L}{\Delta c},\qquad \Delta c = c_\text{carbonetante}-c_\text{descarbonetante}.
  • Como o enunciado dá concentrações em \% em massa (por cento em massa), é preciso convertê-las para concentração volumétrica c via c=\rho\,w, onde w é a fração mássica (por ex. 0{,}015\\ \% corresponde a w=0{,}00015 em fração) e \rho é a densidade do material (kg/m^3).
Aplicando aos números (conversões)
  • Converter as concentrações percentuais em fração mássica: w_1 = 0{,}015\\ \% = 0{,}00015,\qquad w_2 = 0{,}0068\\ \% = 0{,}000068.
  • Converter para concentração volumétrica usando \rho=7870\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}: c_1=\rho\,w_1=7870\times0{,}00015=0{,} (7870\times1{,}5\times10^{-4}).Vamos calcular numericamente: c_1 = 7870\times0{,}00015 = 1{,}1805\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.(detalhe do cálculo: 7870\times0{,}00015 = 7870\times1{,}5\times10^{-4}=7870\times0{,}00015) c_2=\rho\,w_2=7870\times0{,}000068=0{,}53516\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
  • Diferença de concentração: \Delta c = c_1-c_2 = 1{,}1805-0{,}53516 = 0{,}64534\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
Aplicando a Lei de Fick (cálculo de D)
  • Espessura L = 0{,}002\\ \mathrm{m}.
  • Fluxo J = 7{,}36\times10^{-9}\\ \mathrm{kg\,m^{-2}\,s^{-1}}.
  • Portanto D=\frac{J\,L}{\Delta c} =\frac{7{,}36\times10^{-9}\times0{,}002}{0{,}64534}.
  • Calculemos numericamente: \text{numerador} = 7{,}36\times10^{-9}\times0{,}002 = 1{,}472\times10^{-11}
D = \frac{1{,}472\times10^{-11}}{0{,}64534}\approx 2{,}28\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-1}}.
Interpretação curta
  • O valor obtido é do mesmo ordem de grandeza típica para difusão intersticial de carbono em ferro/estaño a temperaturas elevadas (ordens de 10^{-11} a 10^{-10}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-1}}, dependendo da temperatura).
  • Lembrete: esse valor numérico depende da densidade assumida; se outro \rho for usado o D muda proporcionalmente (já que \Delta c\propto\rho).

Passo 3

Resolução detalhada da parte 2 (procedimento e cálculo parcial; explico como usar a tabela de \operatorname{erf} e por que não posso dar o tempo numérico final sem D a 1100^{\circ}\mathrm{C}).
Passos teóricos e conversões iniciais
  • Converter concentrações percentuais em frações mássicas (aqui não precisamos da densidade porque a fórmula usa razões entre concentrações em massa e as frações mássicas se cancelam — note que a fórmula do enunciado usa concentrações c que podem ser expressas em qualquer unidade consistente desde que se use a mesma unidade em c_x,c_0,c_s). Então trabalho direto com frações mássicas relativas (ou com % em massa), pois o fator \rho cancela.
  • Converter para fração mássica: c_0 = 0{,}10\\ \% = 0{,}0010, \quad c_x = 0{,}30\\ \% = 0{,}0030, \quad c_s = 0{,}90\\ \% = 0{,}0090.
Calcular a razão da expressão
  • A fórmula dada é \frac{c_x-c_0}{c_s-c_0} = 1-\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D t}}\right).
  • Calcule a razão numérica: \frac{c_x-c_0}{c_s-c_0} = \frac{0{,}0030-0{,}0010}{0{,}0090-0{,}0010} = \frac{0{,}0020}{0{,}0080} = 0{,}25.
  • Assim 1-\operatorname{erf}(z)=0{,}25,\qquad z\equiv\frac{x}{2\sqrt{D t}}.Ou seja \operatorname{erf}(z)=0{,}75.
Uso da tabela de \operatorname{erf} (interpolação)
  • Procurar na tabela o valor de \operatorname{erf}(z)=0{,}75. Na tabela fornecida: \operatorname{erf}(0{,}80)=0{,}7421,\qquad \operatorname{erf}(0{,}85)=0{,}7707.
  • Interpolando linearmente entre z=0{,}80 e z=0{,}85 para obter \operatorname{erf}(z)=0{,}75: z \approx 0{,}80 + \frac{0{,}75-0{,}7421}{0{,}7707-0{,}7421}\times(0{,}85-0{,}80).Calculemos: \frac{0{,}75-0{,}7421}{0{,}0286}\approx\frac{0{,}0079}{0{,}0286}\approx0{,}276,então z \approx 0{,}80 + 0{,}276\times0{,}05 \approx 0{,}80 + 0{,}0138 \approx 0{,}8138.Arredondando, z\approx0{,}814.
Isolando o tempo t
  • Da definição de z: z=\frac{x}{2\sqrt{D t}}\quad\Rightarrow\quad \sqrt{D t}=\frac{x}{2z}
D t = \frac{x^{2}}{4 z^{2}}\quad\Rightarrow\quad t=\frac{x^{2}}{4 D z^{2}}.
  • Substituindo x=0{,}004\\ \mathrm{m} e z\approx0{,}8138: t=\frac{(0{,}004)^{2}}{4\,D\,(0{,}8138)^{2}} =\frac{1{,}6\times10^{-5}}{4\,D\times0{,}6623} =\frac{6{,}05\times10^{-6}}{D}.Assim obtemos a expressão prática t \;[\mathrm{s}]=\frac{6{,}05\times10^{-6}}{D\\ [\mathrm{m^{2}\,s^{-1}}]}.
Importante sobre a avaliação numérica
  • Para obter um número para t é imprescindível conhecer D à temperatura 1100^{\circ}\mathrm{C}. Esse valor não foi fornecido no enunciado nem na tabela de \operatorname{erf}. Portanto não posso fornecer o tempo numérico correto sem esse dado.
  • Como orientação prática: se for fornecido D (por exemplo D= \text{valor}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-1}}), basta substituir na fórmula acima para obter t em segundos e converter para horas/dias se desejar.
Exemplo ilustrativo (apenas para mostrar o uso da fórmula; uso do D calculado na parte 1 seria incorreto aqui porque fisicamente aquele D corresponde a 675^{\circ}\mathrm{C}, não a 1100^{\circ}\mathrm{C}; apresento o exemplo só para ilustrar o cálculo)
  • Se, por exemplo, alguém (erroneamente) usasse D=2{,}28\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-1}} (valor que obtivemos na parte 1 a 675^{\circ}\mathrm{C}), então t=\frac{6{,}05\times10^{-6}}{2{,}28\times10^{-11}}\approx2{,}65\times10^{5}\\ \mathrm{s}\approx73{,}6\\ \mathrm{h}\approx3{,}07\\ \text{dias}.Reforço: esse número é apenas um exemplo ilustrativo; o valor real a 1100^{\circ}\mathrm{C} será bastante diferente pois D cresce fortemente com a temperatura.

Resposta

D \approx 2{,}28\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-1}} (usando \rho=7870\\ \mathrm{kg\,m^{-3}} para converter %\ massa \to concentração volumétrica)
t=\dfrac{6{,}05\times10^{-6}}{D}\\ \mathrm{(s)}. Não é possível fornecer o valor numérico de t sem o coeficiente de difusão D à temperatura 1100^{\circ}\mathrm{C}.

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