Calcule o fator de empacotamento itónico, o mumero de coordenaçao e o numero de Átomos por célula unitaria da estrutura hexagonal compacta.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a estrutura hexagonal compacta (HCP): o fator de empacotamento (fração do volume da célula unitária ocupada pelos átomos), o número de coordenação e o número de átomos por célula unitária. As informações implícitas que usaremos são: os átomos podem ser modelados por esferas rígidas de raio
que se tocam nos pontos de empacotamento; a célula convencional é um prisma hexagonal de base de aresta
e altura
. Não há outras informações numéricas no enunciado, então vamos expressar tudo em função de
e das relações geométricas da HCP.
Passo 2
Definir variáveis e relação básica no plano basal: na camada basal (hexagonal) os centros dos átomos formam triângulos equiláteros de lado
. Como as esferas se tocam entre vizinhos no mesmo plano, temos
Agora precisamos da separação vertical entre camadas adjacentes (a distância entre centros de átomos em camadas consecutivas) para obter
. Considere um triângulo equilátero de lado
no plano e o átomo que fica acima do centro desse triângulo (o sítio tetraédrico). A projeção horizontal da distância do centro do triângulo até um vértice vale
. Se chamarmos
a distância vertical entre camadas adjacentes, os centros de dois átomos (um no vértice e outro no sítio acima) estão separados por
, portanto
Substituindo
,
logo
então
Na HCP a altura
da célula convencional corresponde a duas dessas separações (A → B → A), portanto
Dessa relação obtemos a razão ideal
Passo 3
Volume da célula unitária (prisma hexagonal). A área de um hexágono regular de lado
é
O volume da célula é então
Substituímos
e
:
Calcule passo a passo:
Agora
, e
. Portanto
Passo 4
Número de átomos por célula unitária. Uma forma simples e robusta de ver isso é lembrar que a célula primitiva do empacotamento hexagonal contém
átomos (a rede HCP é uma rede de Bravais com base de dois átomos). A célula convencional hexagonal que usamos aqui contém três dessas células primitivas no plano basal, portanto contém
átomos por célula convencional. (Conclusão usual: a célula hexagonal convencional do HCP contém 6 átomos.)
Passo 5
Volume total ocupado pelos átomos dentro da célula: cada átomo é uma esfera de volume
. Com
átomos,
Passo 6
Fator de empacotamento (APF) = fração do volume da célula ocupado pelas esferas:
Podemos escrever também
Observação rápida e útil para a prova: esse valor é o mesmo do empacotamento cúbico de faces centradas (FCC), ou seja, o máximo empacotamento de esferas regulares no espaço é aproximadamente
.
Passo 7
Número de coordenação. Para ver o número de vizinhos mais próximos de um átomo HCP, observe a geometria de empacotamento: em cada camada basal um átomo tem 6 vizinhos do mesmo plano (os vértices de um hexágono ao redor). Além disso, há 3 átomos da camada imediatamente acima que tocam esse átomo (os três que formam o triângulo cujo centro projeta-se no centro formado pelos vizinhos) e mais 3 análogos na camada imediatamente abaixo. Logo o total de vizinhos mais próximos é
Isso também é igual ao número de coordenação do empacotamento cúbico de faces centradas (FCC).