Calcule o fator de empacotamento itónico, o mumero de coordenaçao e o numero de Átomos por célula unitaria da estrutura hexagonal compacta.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a estrutura hexagonal compacta (HCP): o fator de empacotamento (fração do volume da célula unitária ocupada pelos átomos), o número de coordenação e o número de átomos por célula unitária. As informações implícitas que usaremos são: os átomos podem ser modelados por esferas rígidas de raio \;r\; que se tocam nos pontos de empacotamento; a célula convencional é um prisma hexagonal de base de aresta \;a\; e altura \;c\;. Não há outras informações numéricas no enunciado, então vamos expressar tudo em função de \;r\; e das relações geométricas da HCP.

Passo 2

Definir variáveis e relação básica no plano basal: na camada basal (hexagonal) os centros dos átomos formam triângulos equiláteros de lado \;a\;. Como as esferas se tocam entre vizinhos no mesmo plano, temos
a = 2r.
Agora precisamos da separação vertical entre camadas adjacentes (a distância entre centros de átomos em camadas consecutivas) para obter \;c\;. Considere um triângulo equilátero de lado \;a\; no plano e o átomo que fica acima do centro desse triângulo (o sítio tetraédrico). A projeção horizontal da distância do centro do triângulo até um vértice vale \;\dfrac{a}{\sqrt{3}}\;. Se chamarmos \;h\; a distância vertical entre camadas adjacentes, os centros de dois átomos (um no vértice e outro no sítio acima) estão separados por 2r, portanto
(2r)^2 = \left(\dfrac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 + h^2.
Substituindo \;a=2r\;,
4r^2 = \left(\dfrac{2r}{\sqrt{3}}\right)^2 + h^2 = \dfrac{4r^2}{3} + h^2,
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h^2 = 4r^2 - \dfrac{4r^2}{3} = \dfrac{8}{3}r^2,
então
h = r\sqrt{\dfrac{8}{3}}.
Na HCP a altura c da célula convencional corresponde a duas dessas separações (A → B → A), portanto
c = 2h = 2r\sqrt{\dfrac{8}{3}}.
Dessa relação obtemos a razão ideal
\dfrac{c}{a}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}\approx 1{,}633.

Passo 3

Volume da célula unitária (prisma hexagonal). A área de um hexágono regular de lado \;a\; é
A_{\text{base}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2.
O volume da célula é então
V_{\text{cel}} = A_{\text{base}}\cdot c = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2 c.
Substituímos a=2r e c=2r\sqrt{\dfrac{8}{3}}:
V_{\text{cel}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,(2r)^2\left(2r\sqrt{\dfrac{8}{3}}\right).
Calcule passo a passo:
(2r)^2 = 4r^2,
\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 4r^2 \cdot 2r\sqrt{\dfrac{8}{3}} = \left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 8\right) r^3 \sqrt{\dfrac{8}{3}}.
Agora \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 8 = 12\sqrt{3}, e \sqrt{3}\cdot\sqrt{\dfrac{8}{3}} = \sqrt{8}=2\sqrt{2}. Portanto
V_{\text{cel}} = 12\sqrt{3}\,r^3\sqrt{\dfrac{8}{3}} = 12\cdot 2\sqrt{2}\,r^3 = 24\sqrt{2}\,r^3.

Passo 4

Número de átomos por célula unitária. Uma forma simples e robusta de ver isso é lembrar que a célula primitiva do empacotamento hexagonal contém \;2\; átomos (a rede HCP é uma rede de Bravais com base de dois átomos). A célula convencional hexagonal que usamos aqui contém três dessas células primitivas no plano basal, portanto contém
N = 2 \times 3 = 6
átomos por célula convencional. (Conclusão usual: a célula hexagonal convencional do HCP contém 6 átomos.)

Passo 5

Volume total ocupado pelos átomos dentro da célula: cada átomo é uma esfera de volume \dfrac{4}{3}\pi r^3. Com N=6 átomos,
V_{\text{átomos}} = 6\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3 = 8\pi r^3.á

Passo 6

Fator de empacotamento (APF) = fração do volume da célula ocupado pelas esferas:
\text{APF} = \dfrac{V_{\text{átomos}}}{V_{\text{cel}}} = \dfrac{8\pi r^3}{24\sqrt{2}\,r^3} = \dfrac{8\pi}{24\sqrt{2}} = \dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}.á
Podemos escrever também
\text{APF} = \dfrac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0{,}74048.
Observação rápida e útil para a prova: esse valor é o mesmo do empacotamento cúbico de faces centradas (FCC), ou seja, o máximo empacotamento de esferas regulares no espaço é aproximadamente 74{,}05\%.

Passo 7

Número de coordenação. Para ver o número de vizinhos mais próximos de um átomo HCP, observe a geometria de empacotamento: em cada camada basal um átomo tem 6 vizinhos do mesmo plano (os vértices de um hexágono ao redor). Além disso, há 3 átomos da camada imediatamente acima que tocam esse átomo (os três que formam o triângulo cujo centro projeta-se no centro formado pelos vizinhos) e mais 3 análogos na camada imediatamente abaixo. Logo o total de vizinhos mais próximos é
\text{coordenação} = 6 + 3 + 3 = 12.çã
Isso também é igual ao número de coordenação do empacotamento cúbico de faces centradas (FCC).

Resposta

\displaystyle \text{Fator de empacotamento} = \dfrac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0{,}74048
\displaystyle \text{Número de coordenação} = 12úçã
\displaystyle \text{Átomos por célula unitária (célula hexagonal convencional)} = 6Áéáé

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