Calcule o fator de empacotamento atómico, o número de coordenaçao e o número de Atomos por edita unitária da estrutura cabica de faces centradas.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a estrutura cúbica de faces centradas (FCC):
  1. o fator de empacotamento atômico (fração do volume da cela unitária ocupada por átomos);
  2. o número de coordenação (quantos átomos mais próximos cada átomo tem);
  3. o número de átomos por cela unitária.
Informações implícitas que usaremos (típicas para FCC): os átomos estão nos oito cantos da cela e nos seis centros das faces; cada átomo será tratado como esfera de raio \,r; a aresta da cela unitária será denotada por \,a. Não vou assumir mais nada que não seja padrão numa FCC.

Passo 2

Calcular o número de átomos por cela unitária (explicação detalhada).
  • Cada átomo numa das oito posições de canto é compartilhado por 8 celas (um canto pertence a 8 celas vizinhas), logo cada canto contribui com fração \tfrac{1}{8} de átomo para a cela. Há 8 cantos, então contribuição total dos cantos:
8 \times \tfrac{1}{8} = 1.
  • Cada átomo no centro de uma face é compartilhado por 2 celas (a face é comum a 2 celas), logo cada centro de face contribui com \tfrac{1}{2}. Há 6 faces, então contribuição total das faces:
6 \times \tfrac{1}{2} = 3.
Somando cantos e faces obtemos o número total de átomos por cela unitária:
N_{\text{átomos}} = 1 + 3 = 4.á

Passo 3

Explicar e determinar o número de coordenação (passo a passo, visualizando vizinhança).
  • O número de coordenação é o número de vizinhos mais próximos (aqueles à menor distância entre centros).
  • Na FCC, cada átomo toca outros átomos ao longo das diagonais das faces; geometricamente, cada átomo tem 12 vizinhos mais próximos. Uma forma de ver isso intuitivamente: para um átomo em uma posição de canto, ele toca 4 átomos nas faces da mesma camada, 4 átomos na camada acima e 4 na camada abaixo, totalizando 4+4+4=12.
    Portanto:
\text{Número de coordenação} = 12.úçã

Passo 4

Derivar a relação entre a aresta da cela \,a e o raio atômico \,r (essencial para o fator de empacotamento).
  • Em FCC, os átomos em um canto e o átomo no centro da face (da mesma face) estão alinhados ao longo da diagonal da face.
  • A diagonal da face tem comprimento \sqrt{2}\,a.
  • Ao percorrer essa diagonal, encontramos um átomo de canto, depois o átomo do centro da face, depois o outro átomo de canto. Como os átomos tocam-se ao longo dessa linha, a distância total entre os centros dos dois cantos vale 4r (cada canto ao centro da face contribui com 2r no somatório).
    Logo a igualdade geométrica é
\sqrt{2}\,a = 4r.
  • Isolando a:
a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,r.

Passo 5

Escrever a definição do fator de empacotamento atômico (APF) e as fórmulas que usaremos.
  • Definição: o fator de empacotamento atômico é a razão entre o volume total ocupado por todas as esferas (átomos) na cela unitária e o volume da própria cela unitária:
\text{APF} = \frac{\text{Volume total das esferas na cela}}{\text{Volume da cela}}.
  • Volume de uma esfera de raio \,r:
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Já calculamos que há N_{\text{átomos}}=4á átomos na cela, então volume total das esferas é
V_{\text{átomos}} = 4 \times \frac{4}{3}\pi r^{3} = \frac{16}{3}\pi r^{3}.á
  • Volume da cela unitária (cúbica):
V_{\text{cela}} = a^{3}.
  • Substituímos a = 2\sqrt{2}\,r para expressar V_{\text{cela}} em função de r.

Passo 6

Calcular explicitamente o APF usando as expressões acima (mostrar cada passo algébrico).
  • Primeiro calcular a^{3}:
a^{3} = (2\sqrt{2}\,r)^{3} = 2^{3} (\sqrt{2})^{3} r^{3} = 8 \times 2\sqrt{2}\, r^{3} = 16\sqrt{2}\, r^{3}.
(Detalhe: (\sqrt{2})^{3} = 2\sqrt{2}.)
  • Agora construir a razão:
\text{APF} = \frac{V_{\text{átomos}}}{V_{\text{cela}}} = \frac{\dfrac{16}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt{2}\, r^{3}}.á
  • Simplificando 16 r^{3} do numerador e denominador:
\text{APF} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}.

Passo 7

Avaliar numericamente o APF e dar a interpretação final.
  • Valor numérico usando \pi \approx 3,14159 e \sqrt{2}\approx 1,41421:
\text{APF} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0,74048\quad\text{(ou seja, aproximadamente }74{,}05\%\text{)}.
Interpretação: cerca de 74{,}05\% do volume da cela FCC é ocupado por matéria (esferas), o resto é vazio entre os átomos.

Resposta

\displaystyle \text{Fator de empacotamento atômico} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0{,}74048 \;(\approx 74{,}05\%)ô
\displaystyle \text{Número de coordenação} = 12úçã
\displaystyle \text{Número de átomos por cela unitária} = 4úáá

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