Calcule o fator de empacotamento atómico, o número de coordenaçao e o número de Atomos por edita unitária da estrutura cabica de faces centradas.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a estrutura cúbica de faces centradas (FCC):
- o fator de empacotamento atômico (fração do volume da cela unitária ocupada por átomos);
- o número de coordenação (quantos átomos mais próximos cada átomo tem);
- o número de átomos por cela unitária.
Informações implícitas que usaremos (típicas para FCC): os átomos estão nos oito cantos da cela e nos seis centros das faces; cada átomo será tratado como esfera de raio
; a aresta da cela unitária será denotada por
. Não vou assumir mais nada que não seja padrão numa FCC.
Passo 2
Calcular o número de átomos por cela unitária (explicação detalhada).
- Cada átomo numa das oito posições de canto é compartilhado por 8 celas (um canto pertence a 8 celas vizinhas), logo cada canto contribui com fração
de átomo para a cela. Há 8 cantos, então contribuição total dos cantos:
- Cada átomo no centro de uma face é compartilhado por 2 celas (a face é comum a 2 celas), logo cada centro de face contribui com
. Há 6 faces, então contribuição total das faces:
Somando cantos e faces obtemos o número total de átomos por cela unitária:
Passo 3
Explicar e determinar o número de coordenação (passo a passo, visualizando vizinhança).
- O número de coordenação é o número de vizinhos mais próximos (aqueles à menor distância entre centros).
- Na FCC, cada átomo toca outros átomos ao longo das diagonais das faces; geometricamente, cada átomo tem 12 vizinhos mais próximos. Uma forma de ver isso intuitivamente: para um átomo em uma posição de canto, ele toca 4 átomos nas faces da mesma camada, 4 átomos na camada acima e 4 na camada abaixo, totalizando
.
Portanto:
Passo 4
Derivar a relação entre a aresta da cela
e o raio atômico
(essencial para o fator de empacotamento).
- Em FCC, os átomos em um canto e o átomo no centro da face (da mesma face) estão alinhados ao longo da diagonal da face.
- A diagonal da face tem comprimento
. - Ao percorrer essa diagonal, encontramos um átomo de canto, depois o átomo do centro da face, depois o outro átomo de canto. Como os átomos tocam-se ao longo dessa linha, a distância total entre os centros dos dois cantos vale
(cada canto ao centro da face contribui com no somatório).
Logo a igualdade geométrica é
- Isolando
:
Passo 5
Escrever a definição do fator de empacotamento atômico (APF) e as fórmulas que usaremos.
- Definição: o fator de empacotamento atômico é a razão entre o volume total ocupado por todas as esferas (átomos) na cela unitária e o volume da própria cela unitária:
- Volume de uma esfera de raio
:
- Já calculamos que há
átomos na cela, então volume total das esferas é
- Volume da cela unitária (cúbica):
- Substituímos
para expressar em função de .
Passo 6
Calcular explicitamente o APF usando as expressões acima (mostrar cada passo algébrico).
- Primeiro calcular
:
(Detalhe:
.)
- Agora construir a razão:
- Simplificando
do numerador e denominador:
Passo 7
Avaliar numericamente o APF e dar a interpretação final.
- Valor numérico usando
e :
Interpretação: cerca de
do volume da cela FCC é ocupado por matéria (esferas), o resto é vazio entre os átomos.