Calcule o fator de empacotamento para metais com estruturas cristalinas cfc e ccc. Qual a interpretação fisica dos valores encontrados?.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai calcular o fator de empacotamento para metais que têm estruturas cristalinas CFC (Cúbica de Face Centrada) e CCC (Cúbica de Corpo Centrado). O fator de empacotamento é basicamente a fração do volume que é ocupada pelos átomos dentro da estrutura cristalina. Para isso, vamos precisar entender as características dessas estruturas e usar algumas fórmulas matemáticas simples.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a estrutura CFC (Cúbica de Face Centrada). Nessa estrutura, cada célula unitária do cristal tem átomos nos cantos do cubo e um átomo no centro de cada face.
  • Número de átomos por célula unitária na CFC:
    • Cada átomo no canto é compartilhado por 8 células unitárias, então contribui com $ \frac{1}{8} $ por célula.
    • Tem 8 cantos, então total dos cantos: $ 8 \times \frac{1}{8} = 1 $ átomo.
    • Cada átomo na face é compartilhado por 2 células, então contribui com $ \frac{1}{2} $ por célula.
    • Tem 6 faces, então total das faces: $ 6 \times \frac{1}{2} = 3 $ átomos.
    • Total na CFC: 18 átomos por célula unitária.
  • Relação entre o raio atômico ® e a aresta do cubo (a) na CFC:
    8 times 18 = 1
  • Volume ocupado pelos átomos na CFC:
    Cada átomo é uma esfera com volume $ \frac{4}{3}\pi r^3 $.
    Então, para 4 átomos:
    12 á
  • Volume da célula unitária na CFC:
    6 times 12 = 3 é
  • Fator de empacotamento (FE) para a CFC:
    1 + 3 = 4áé

Passo 3

Agora, vamos para a estrutura CCC (Cúbica de Corpo Centrado). Nessa estrutura, além dos átomos nos cantos, tem um átomo bem no centro do cubo.
  • Número de átomos por célula unitária na CCC:
    • Cada átomo no canto é compartilhado por 8 células unitárias, então contribui com $ \frac{1}{8} $ por célula.
    • Tem 8 cantos, então total dos cantos: $ 8 \times \frac{1}{8} = 1 $ átomo.
    • O átomo no centro é todo dentro da célula, então adiciona 1 átomo.
    • Total na CCC: 18 átomos por célula unitária.
  • Relação entre o raio atômico ® e a aresta do cubo (a) na CCC:
    8 times 18 = 1
  • Volume ocupado pelos átomos na CCC:
    1 + 1 = 2á
  • Volume da célula unitária na CCC:
    a = 4rraiz3 é
  • Fator de empacotamento (FE) para a CCC:
    Vátomos = 2 times 43pi r^3 = 83pi r^3 áé

Passo 4

Vamos interpretar o que esses valores significam na prática:
  • CFC (Cúbica de Face Centrada): Tem um fator de empacotamento de aproximadamente 74%. Isso indica que 74% do volume da célula unitária é ocupado pelos átomos. Essa alta eficiência no empacotamento é uma das razões pelas quais muitos metais com estrutura CFC são mais densos e têm boa ductilidade.
  • CCC (Cúbica de Corpo Centrado): Possui um fator de empacotamento de cerca de 68%. Embora ainda eficiente, esse valor é menor que o da CFC, o que resulta em uma menor densidade comparativamente. Metais com estrutura CCC tendem a ser mais duros, mas menos dúcteis que os CFC.

Resposta

O fator de empacotamento é de aproximadamente 74% para metais com estrutura CFC e 68% para aqueles com estrutura CCC. Isso significa que, nas estruturas CFC, 74% do volume é ocupado pelos átomos, indicando um empacotamento mais eficiente e geralmente associada a maior ductilidade. Já nas estruturas CCC, 68% do volume é ocupado, refletindo um empacotamento um pouco menos eficiente e geralmente associado a metais mais duros, porém menos dúcteis.

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