Calcule o fator de Franck & Condon para uma transição 0-0 entre dois estados com distâncias de equilíbrio são 2,32 \AA e 2,35 \AA. Suponha que as constantes vibracionais dos estados são muito próximas de 385 \mathrm{~cm}^{-1}, e a massa reduzida é 27,4 u.m.a. ( 10 pontos)

Passo 1

O enunciado pede o fator de Franck–Condon para a transição 0\to0 entre dois potenciais harmônicos cujos equilíbrios diferem em \Delta R=2{,}35-2{,}32=0{,}03\:\text{\AA}. A teoria diz que, para deslocamento de equilíbrio entre dois osciladores com mesma frequência, o fator de Franck–Condon é
\text{FC}_{0\to0} \;=\;\bigl|\langle 0|0'\rangle\bigr|^2 \;=\;e^{-S},
onde S é o parâmetro de Huang–Rhys (adimensional).

Passo 2

O parâmetro de Huang–Rhys é dado por
S \;=\;\frac{\mu\,\omega\,\Delta R^2}{2\,\hbar},
em que
\mu é a massa reduzida,
\omega é a frequência angular vibracional,
\Delta R é o deslocamento entre equilíbrios,
e \hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Convertendo as grandezas para SI:
\mu = 27{,}4\:\text{u} = 27{,}4\times1{,}66054\times10^{-27}\:\mathrm{kg} =4{,}55\times10^{-26}\:\mathrm{kg},
\Delta R=0{,}03\,\text{\AA}=3{,}0\times10^{-12}\:\mathrm{m},
e a frequência angular
\omega = 2\pi\,c\,\tilde\nu =2\pi\times(2{,}998\times10^{10}\,\mathrm{cm/s}) \times(385\,\mathrm{cm}^{-1}) \approx7{,}25\times10^{13}\:\mathrm{s}^{-1}.

Passo 4

Agora calculamos
S = \frac{(4{,}55\times10^{-26}\,\mathrm{kg}) \times(7{,}25\times10^{13}\,\mathrm{s}^{-1}) \times(3{,}0\times10^{-12}\,\mathrm{m})^2} {2\times(1{,}055\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s})}.
Primeiro o numerador:
4{,}55\times10^{-26}\times7{,}25\times10^{13}\times9{,}0\times10^{-24} \approx2{,}97\times10^{-35}\:\mathrm{J\,s}.
Dividindo por 2\hbar\approx2{,}11\times10^{-34}:
S\approx\frac{2{,}97\times10^{-35}}{2{,}11\times10^{-34}} \approx0{,}14.

Passo 5

Finalmente, o fator de Franck–Condon para 0\to0 é
\text{FC}_{0\to0} = e^{-S} = e^{-0{,}14} \approx0{,}87.

Resposta

0{,}87 (aproximadamente)

Exercícios relacionados