Calcule o fator de potência para uma carga formada pela associação em paralelo de uma carga de 5 kW com fator de potência de 0,7(ad.) e uma carga de 10 kW com fator de potência de 0,85 (at.).

Passo 1

O enunciado dá duas cargas associadas em paralelo e pede o fator de potência resultante da associação. Informações fornecidas:
  • Carga 1: P_1 = 5\\ \text{kW}, fator de potência \mathrm{pf}_1 = 0,7 (atrasado, “ad.”).
  • Carga 2: P_2 = 10\\ \text{kW}, fator de potência \mathrm{pf}_2 = 0,85 (adiantado, “at.”).
O que é pedido: calcular o fator de potência equivalente da associação paralela das duas cargas (dar o valor numérico do fator de potência e indicar se é adiantado ou atrasado).

Passo 2

Conceitos essenciais (rápida aula para lembrar o que usar):
  • O fator de potência é \mathrm{pf} = \cos\varphi, onde \varphi é o ângulo de desfase entre tensão e corrente.
  • Potências relacionadas: P = S\cos\varphi,\qquad Q = S\sin\varphi,\qquad S=\sqrt{P^2+Q^2},onde P é a potência ativa (kW), Q a reativa (kVAr) e S a aparente (kVA).
  • Para uma carga dada por P e \mathrm{pf} conhecendo \cos\varphi=\mathrm{pf}, temos \sin\varphi=\sqrt{1-\mathrm{pf}^2}, \qquad \tan\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{\sqrt{1-\mathrm{pf}^2}}{\mathrm{pf}}.Assim a reativa pode ser calculada como Q = P\tan\varphi.
  • Convenção de sinal: para cargas indutivas (fator em atraso) toma-se Q>0 (indutivo); para cargas capacitivas (fator em adiantamento) toma-se Q<0 (capacitativo). Em associação paralela, P e Q totais são as somas algébricas das partes.

Passo 3

Calcular a reativa de cada carga usando Q=P\tan\varphi e \tan\varphi=\dfrac{\sqrt{1-\mathrm{pf}^2}}{\mathrm{pf}}.
Para a carga 1 ( P_1=5\\ \text{kW}, \mathrm{pf}_1=0,7, atraso):
\sin\phi_1=\sqrt{1-0,7^2}=\sqrt{1-0,49}=\sqrt{0,51}=0,714177\ldots
\tan\phi_1=\frac{0,714177\ldots}{0,7}=1,020253\ldots
Q_1 = P_1\tan\phi_1 = 5\cdot 1,020253\ldots = 5,101265\\ \text{kVAr}.
(positivo pois é carga em atraso — é reativa indutiva).
Para a carga 2 ( P_2=10\\ \text{kW}, \mathrm{pf}_2=0,85, adiantado):
\sin\phi_2=\sqrt{1-0,85^2}=\sqrt{1-0,7225}=\sqrt{0,2775}=0,526782\ldots
\tan\phi_2=\frac{0,526782\ldots}{0,85}=0,619742\ldots
Q_2 = P_2\tan\phi_2 = 10\cdot 0,619742\ldots = 6,197422\\ \text{kVAr}.
Como a carga 2 é adiantada (capacitativa), atribuimos Q_2 = -6,197422\\ \text{kVAr}.

Passo 4

Somar as potências ativas e reativas (paralelo: somas diretas).
P_{\text{tot}} = P_1 + P_2 = 5 + 10 = 15\\ \text{kW}.
Q_{\text{tot}} = Q_1 + Q_2 = 5,101265 + (-6,197422) = -1,096157\\ \text{kVAr}.
O sinal negativo em Q_{\text{tot}} indica que o conjunto tem reatância liquida capacitiva (resultado adiantado).

Passo 5

Calcular a potência aparente total S_{\text{tot}} e o fator de potência resultante:
S_{\text{tot}} = \sqrt{P_{\text{tot}}^2 + Q_{\text{tot}}^2} = \sqrt{15^2 + (-1,096157)^2} = \sqrt{225 + 1,201576} = \sqrt{226,201576} = 15,041648\\ \text{kVA}\\ (\text{aprox.}).
Logo o fator de potência total é
\mathrm{pf}_{\text{tot}} = \frac{P_{\text{tot}}}{S_{\text{tot}}} = \frac{15}{15,041648}=0,997232\ldots
Arredondando de forma usual para três casas decimais: \mathrm{pf}_{\text{tot}}\approx 0,997.
Como Q_{\text{tot}}<0, o fator de potência é adiantado (at.).

Passo 6

Interpretação final (dica para prova): apesar de uma carga ser bastante indutiva ( \mathrm{pf}=0,7), a outra carga, mais potente ( 10\\ \text{kW} com \mathrm{pf}=0,85), compensa quase totalmente a reativa da primeira; o conjunto fica com fator muito próximo de 1 e ligeiramente adiantado. Para problemas parecidos: calcule sempre Q com sinal, some P e Q e depois obtenha \mathrm{pf}=P/\sqrt{P^2+Q^2}.

Resposta

0,997 (at.)

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