Calcule a fem (força eletromotriz) gerada pelo campo elétrico
\overrightarrow{\mathcal{E}}=(x-y) \hat{\mathbf{i}}+(x+y) \hat{\mathbf{j}}
considerando o trajeto fechado descrito pelas curvas y=x^{2}, de (0,0) a (1,1), e y^{2}=x, de (1,1) a (0,0). O campo elétrico é conservativo?
[OBS.: Em um circuito elétrico, existem elementos que transmitem energia para movimentação das cargas. Tais elementos são denominados fontes de força eletromotriz. Associada a estes, há uma grandeza escalar denominada força eletromotriz, dada por
\varepsilon=\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{f}_{i n t} \cdot d \mathbf{r}
onde \mathbf{f}_{i n t} é a força interna por unidade de carga que move as cargas na fonte de fem. Dois casos relevantes de forças internas envolvem forças elétricas e magnéticas. A força eletromotriz de origem elétrica é dada por:
\left.\varepsilon=\oint_{\mathcal{C}} \overrightarrow{\mathcal{E}} \cdot d \mathbf{r} .\right]

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular a força eletromotriz (fem) dada por \displaystyle \varepsilon=\oint_{\mathcal{C}} \overrightarrow{\mathcal{E}}\cdot d\mathbf{r} para a curva fechada \mathcal{C} formada por duas partes:
    1. curva y=x^{2} de (0,0) a (1,1);
    2. curva y^{2}=x de (1,1) de volta a (0,0).
  • Dizer se o campo elétrico é conservativo.
Informações fornecidas:
  • O campo elétrico é \displaystyle \overrightarrow{\mathcal{E}}=(x-y)\,\hat{\mathbf{i}}+(x+y)\,\hat{\mathbf{j}}.
  • A orientação do contorno \mathcal{C} é: primeiro ir de (0,0) a (1,1) por y=x^{2}, depois retornar de (1,1) a (0,0) por y^{2}=x.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (sem pular passos):
  • Um jeito direto é parametrizar cada trecho da curva e calcular \int \overrightarrow{\mathcal{E}}\cdot d\mathbf{r} em cada trecho, somando os resultados.
  • Um caminho mais curto e elegante usa uma relação que transforma integral de linha sobre contorno fechado em integral dupla sobre a região interna (isso reduz as contas quando o rotacional é simples). Vou explicar essa relação e usá‑la porque simplifica bastante, e depois mostro também a parametrização direta para você ver que dá o mesmo — assim você aprende os dois jeitos (útil pra prova).
  • A relação (teorema de Green no plano) que vamos usar é: para um campo planar \displaystyle \overrightarrow{F}=(P,Q),
\oint_{\mathcal{C}} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA,
onde D é a região do plano limitada por \mathcal{C}, e a orientação de \mathcal{C} deve ser positiva (sentido anti‑horário). No nosso caso a curva dada (ir pelo ramo inferior y=x^2 da esquerda para a direita e voltar pelo ramo superior y=\sqrt{x} da direita para a esquerda) é de orientação positiva, então podemos aplicar essa fórmula.

Passo 3

Aplicação do teorema de Green (cálculo rápido e didático):
  • Identificamos P(x,y)=x-y e Q(x,y)=x+y.
  • Calculamos as derivadas parciais: \frac{\partial Q}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=-1.Logo \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2.Observação: aqui obtivemos uma função constante 2 — isso facilita muito porque a integral dupla vira 2 vezes a área da região D.
  • Precisamos da área da região D entre as curvas y=x^{2} e y=\sqrt{x} (a parte com y\ge0 entre x=0 e x=1). Para cada x\in[0,1], o ramo superior é y=\sqrt{x} (tirado de y^{2}=x com y\ge0) e o ramo inferior é y=x^{2}. Assim a área é
\text{Área}(D)=\int_{0}^{1}\big(\sqrt{x}-x^{2}\big)\,dx.Á
  • Calculando essa integral passo a passo: \int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx=\int_{0}^{1}x^{1/2}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}x^{3/2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{2}{3},
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\left[\tfrac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{3}.
Então
\text{Área}(D)=\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{3}.Á
  • Pelo teorema de Green, \varepsilon=\oint_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\mathcal{E}}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{D}2\,dA=2\cdot\text{Área}(D)=2\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.ÁPronto — resposta obtida de forma direta e elegante.

Passo 4

Verificação por parametrização direta (útil para a prova: como fazer sem lembrar Green):
  • Trecho 1: C_{1} é y=x^{2}, de (0,0) a (1,1). Parametrização: x=t,\;y=t^{2}, com t\in[0,1].
    • d\mathbf{r}=(dx,dy)=(dt,2t\,dt).
    • \overrightarrow{\mathcal{E}}\cdot d\mathbf{r}=(x-y)\,dx+(x+y)\,dy.
    • Substituindo x=t,\;y=t^{2}: (t-t^{2})\cdot 1 + (t+t^{2})\cdot 2t = t-t^{2}+2t^{2}+2t^{3}=t+t^{2}+2t^{3}.
    • Integral no trecho C_{1}: \int_{0}^{1}\big(t+t^{2}+2t^{3}\big)\,dt =\left[\tfrac{1}{2}t^{2}+\tfrac{1}{3}t^{3}+\tfrac{1}{2}t^{4}\right]_{0}^{1} =\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}=1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}.
  • Trecho 2: C_{2} é y^{2}=x (tomando o ramo positivo y=\sqrt{x}), de (1,1) a (0,0). Parametrização conveniente: y=s,\;x=s^{2}, com s indo de 1 a 0 (porque voltamos).
    • d\mathbf{r}=(dx,dy)=(2s\,ds,\,ds).
    • Substituindo: \overrightarrow{\mathcal{E}}\cdot d\mathbf{r}=(s^{2}-s)\cdot 2s + (s^{2}+s)\cdot 1 = 2s^{3}-2s^{2}+s^{2}+s=2s^{3}-s^{2}+s.
    • Integral no trecho C_{2} (note o limite de 1 a 0): \int_{1}^{0}\big(2s^{3}-s^{2}+s\big)\,ds =- \int_{0}^{1}\big(2s^{3}-s^{2}+s\big)\,ds.Calcule a integral positiva: \int_{0}^{1}\big(2s^{3}-s^{2}+s\big)\,ds =\left[\tfrac{1}{2}s^{4}-\tfrac{1}{3}s^{3}+\tfrac{1}{2}s^{2}\right]_{0}^{1} =\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.Portanto a integral de 1 a 0 é -\tfrac{2}{3}.
  • Soma das duas contribuições: \varepsilon=\tfrac{4}{3}+(-\tfrac{2}{3})=\tfrac{2}{3},que coincide com o resultado obtido via Green. Bom sinal — tudo consistente.

Passo 5

O campo é conservativo?
  • Para um campo planar \overrightarrow{\mathcal{E}}=(P,Q) definido em uma região simplesmente conexa, uma condição necessária (e suficiente) para ser conservativo é \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}.
  • Aqui já calculamos: \frac{\partial Q}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=-1,que não são iguais. Logo o campo não é conservativo.
  • Outra maneira de ver isso: o “rotacional” escalar no plano é \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2\neq 0. Portanto o circuito fechado pode ter circulação não nula (e de fato \varepsilon=\tfrac{2}{3}\neq 0), confirmando que o campo não é conservativo.
  • Dica motivadora: quando o rotacional der zero em toda a região e a região for simplesmente conexa, o campo é conservativo; se o rotacional não for zero, não é conservativo e o integral fechado geralmente não será zero — é exatamente o que aconteceu aqui.

Resposta

\displaystyle \varepsilon=\tfrac{2}{3}
Não (o campo não é conservativo).

Exercícios relacionados