Calcule a fem (força eletromotriz) gerada pelo campo elétrico
considerando o trajeto fechado descrito pelas curvas
, de
a
, e
, de
a
. O campo elétrico é conservativo?
[OBS.: Em um circuito elétrico, existem elementos que transmitem energia para movimentação das cargas. Tais elementos são denominados fontes de força eletromotriz. Associada a estes, há uma grandeza escalar denominada força eletromotriz, dada por
onde
é a força interna por unidade de carga que move as cargas na fonte de fem. Dois casos relevantes de forças internas envolvem forças elétricas e magnéticas. A força eletromotriz de origem elétrica é dada por:
[OBS.: Em um circuito elétrico, existem elementos que transmitem energia para movimentação das cargas. Tais elementos são denominados fontes de força eletromotriz. Associada a estes, há uma grandeza escalar denominada força eletromotriz, dada por
Passo 1
O que o problema pede:
- Calcular a força eletromotriz (fem) dada por
para a curva fechada formada por duas partes: - curva
de a ; - curva
de de volta a .
- curva
- Dizer se o campo elétrico é conservativo.
Informações fornecidas:
- O campo elétrico é
. - A orientação do contorno
é: primeiro ir de a por , depois retornar de a por .
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (sem pular passos):
- Um jeito direto é parametrizar cada trecho da curva e calcular
em cada trecho, somando os resultados. - Um caminho mais curto e elegante usa uma relação que transforma integral de linha sobre contorno fechado em integral dupla sobre a região interna (isso reduz as contas quando o rotacional é simples). Vou explicar essa relação e usá‑la porque simplifica bastante, e depois mostro também a parametrização direta para você ver que dá o mesmo — assim você aprende os dois jeitos (útil pra prova).
- A relação (teorema de Green no plano) que vamos usar é: para um campo planar
,
onde
é a região do plano limitada por
, e a orientação de
deve ser positiva (sentido anti‑horário). No nosso caso a curva dada (ir pelo ramo inferior
da esquerda para a direita e voltar pelo ramo superior
da direita para a esquerda) é de orientação positiva, então podemos aplicar essa fórmula.
Passo 3
Aplicação do teorema de Green (cálculo rápido e didático):
- Identificamos
e . - Calculamos as derivadas parciais:
Logo Observação: aqui obtivemos uma função constante — isso facilita muito porque a integral dupla vira vezes a área da região . - Precisamos da área da região
entre as curvas e (a parte com entre e ). Para cada , o ramo superior é (tirado de com ) e o ramo inferior é . Assim a área é
- Calculando essa integral passo a passo:
Então
- Pelo teorema de Green,
Pronto — resposta obtida de forma direta e elegante.
Passo 4
Verificação por parametrização direta (útil para a prova: como fazer sem lembrar Green):
- Trecho 1:
é , de a . Parametrização: , com . -
. -
. - Substituindo
: - Integral no trecho
:
-
- Trecho 2:
é (tomando o ramo positivo ), de a . Parametrização conveniente: , com indo de a (porque voltamos). -
. - Substituindo:
- Integral no trecho
(note o limite de a ): Calcule a integral positiva: Portanto a integral de a é .
-
- Soma das duas contribuições:
que coincide com o resultado obtido via Green. Bom sinal — tudo consistente.
Passo 5
O campo é conservativo?
- Para um campo planar
definido em uma região simplesmente conexa, uma condição necessária (e suficiente) para ser conservativo é - Aqui já calculamos:
que não são iguais. Logo o campo não é conservativo. - Outra maneira de ver isso: o “rotacional” escalar no plano é
. Portanto o circuito fechado pode ter circulação não nula (e de fato ), confirmando que o campo não é conservativo. - Dica motivadora: quando o rotacional der zero em toda a região e a região for simplesmente conexa, o campo é conservativo; se o rotacional não for zero, não é conservativo e o integral fechado geralmente não será zero — é exatamente o que aconteceu aqui.
Resposta
Não (o campo não é conservativo).