Considere uma vareta de comprimento L muito fina. A massa total da vareta é M, e está distribuída de forma homogênea ao longo da vareta. Determine o momento de inércia em relação a um eixo
que coincide com o eixo de simetria azimutal (longitudinal) da vareta.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos: temos uma vareta muito fina de comprimento L e massa total M, com massa distribuída de forma homogênea ao longo da vareta. O eixo em relação ao qual devemos calcular o momento de inércia coincide com o eixo de simetria azimutal (longitudinal) da vareta — ou seja, o eixo que percorre o comprimento da vareta passando pelo seu centro. A pergunta é: qual é o momento de inércia da vareta em relação a esse eixo?

Passo 2

Definição usada (fórmula básica): o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é dado pela integral sobre toda a massa do quadrado da distância perpendicular de cada elemento de massa ao eixo. Em forma matemática:
I=\int r^{2}\,dm,
onde r é a distância perpendicular do elemento de massa dm ao eixo de rotação. Vou explicar: cada pedacinho de massa resiste à mudança de movimento rotacional de acordo com quão longe está do eixo; essa resistência soma-se com peso r^{2} para cada pedaço.

Passo 3

Modelagem da massa da vareta e escolha de coordenadas: como a vareta é homogênea ao longo do comprimento, introduzimos a densidade linear de massa
\lambda=\frac{M}{L},
com unidade massa por comprimento. Tomamos uma coordenada x ao longo da vareta (por exemplo x variando de 0 a L). Um elemento de comprimento dx tem massa
dm=\lambda\,dx.

Passo 4

Determinar a distância perpendicular r de qualquer elemento ao eixo: como o eixo de rotação coincide com o eixo longitudinal da vareta (o próprio “fio” da vareta), todo ponto da linha média da vareta está exatamente sobre o eixo. Logo, a distância perpendicular de qualquer elemento de massa ao eixo é
r=0.
Isto significa que cada elemento contribui com r^{2}dm=0 para a integral do momento de inércia.

Passo 5

Fazer a integral explicitamente e concluir: substituímos na integral
I=\int r^{2}\,dm=\int_{0}^{L} 0^{2}\,\lambda\,dx=\int_{0}^{L} 0\,dx=0.
Portanto o momento de inércia da vareta idealizada (linha de massa) em relação ao seu eixo longitudinal é zero.

Passo 6

Comentário didático-final e observação prática: a conclusão I=0 é consequência direta do modelo ideal de vareta “muito fina” cuja massa está exatamente sobre o eixo de rotação. Na prática, uma vareta real tem raio finito R; para um cilindro sólido de raio R e massa M o momento de inércia em relação ao eixo longitudinal é diferente e vale
I=\tfrac{1}{2}MR^{2}.
Ou seja, o resultado zero é para o modelo ideal (linha/massa concentrada no eixo); para qualquer distribuição com massa a uma distância não nula do eixo aparece um momento de inércia positivo.

Resposta

I=0

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