Considere uma vareta de comprimento
muito fina. A massa total da vareta é
, e está distribuída de forma homogênea ao longo da vareta. Determine o momento de inércia em relação a um eixo
que coincide com o eixo de simetria azimutal (longitudinal) da vareta.
que coincide com o eixo de simetria azimutal (longitudinal) da vareta.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos: temos uma vareta muito fina de comprimento
e massa total
, com massa distribuída de forma homogênea ao longo da vareta. O eixo em relação ao qual devemos calcular o momento de inércia coincide com o eixo de simetria azimutal (longitudinal) da vareta — ou seja, o eixo que percorre o comprimento da vareta passando pelo seu centro. A pergunta é: qual é o momento de inércia da vareta em relação a esse eixo?
Passo 2
Definição usada (fórmula básica): o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é dado pela integral sobre toda a massa do quadrado da distância perpendicular de cada elemento de massa ao eixo. Em forma matemática:
onde
é a distância perpendicular do elemento de massa
ao eixo de rotação. Vou explicar: cada pedacinho de massa resiste à mudança de movimento rotacional de acordo com quão longe está do eixo; essa resistência soma-se com peso
para cada pedaço.
Passo 3
Modelagem da massa da vareta e escolha de coordenadas: como a vareta é homogênea ao longo do comprimento, introduzimos a densidade linear de massa
com unidade massa por comprimento. Tomamos uma coordenada
ao longo da vareta (por exemplo
variando de
a
). Um elemento de comprimento
tem massa
Passo 4
Determinar a distância perpendicular
de qualquer elemento ao eixo: como o eixo de rotação coincide com o eixo longitudinal da vareta (o próprio “fio” da vareta), todo ponto da linha média da vareta está exatamente sobre o eixo. Logo, a distância perpendicular de qualquer elemento de massa ao eixo é
Isto significa que cada elemento contribui com
para a integral do momento de inércia.
Passo 5
Fazer a integral explicitamente e concluir: substituímos na integral
Portanto o momento de inércia da vareta idealizada (linha de massa) em relação ao seu eixo longitudinal é zero.
Passo 6
Comentário didático-final e observação prática: a conclusão
é consequência direta do modelo ideal de vareta “muito fina” cuja massa está exatamente sobre o eixo de rotação. Na prática, uma vareta real tem raio finito
; para um cilindro sólido de raio
e massa
o momento de inércia em relação ao eixo longitudinal é diferente e vale
Ou seja, o resultado zero é para o modelo ideal (linha/massa concentrada no eixo); para qualquer distribuição com massa a uma distância não nula do eixo aparece um momento de inércia positivo.