Calcule o fluxo do campo F(x, y, z)=(-x,-y, 3 y^2 z) através da superfície S dada pela parte do cilindro x^2+y^2=16 entre os planos z=0 e z=5-y, com a normal apontando para o exterior do cilindro.

Passo 1

O problema pede o fluxo de vec F(x,y,z)=(-x,-y,3y^2z) através da superfície cilíndrica x^2+y^2=16, entre os planos z=0 e z=5-y, com a normal voltada para fora do cilindro. O conteúdo envolve parametrização de superfície e cálculo de fluxo integral duplaSvec Fcdothat n,dS.

Passo 2

Vamos parametrizar o cilindro de raio 4 usando coordenadas cilíndricas adaptadas:
x=4costheta, y=4sintheta, z=z,
com thetain[0,2pi] e zin[0,5-4sintheta]. A normal unitária externa ao cilindro é
hat n=(costheta,,sintheta,,0).

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar vec Fcdothat n. Substituindo x^2+y^2=16:
vec Fl(4costheta,4sintheta,zr)=(-4costheta,,-4sintheta,,3,(4sintheta)^2z),
vec Fcdothat n=(-4costheta)costheta+(-4sintheta)sintheta=-4(cos^2theta+sin^2theta)=-4

Passo 4

O elemento de área da superfície cilíndrica é dS=(raio),dtheta,dz=4,dtheta,dz. Montando a integral de fluxo:
integral duplaSvec Fcdothat n,dS=integral0^2piintegral0^5-4sintheta(-4),(4,dz,dtheta)= -16integral0^2pil(5-4sinthetar)dtheta

Passo 5

Avaliaremos a integral em theta. Como integral0^2pisintheta,dtheta=0:
-16l[5cdot2pi -4cdot0r]= -16cdot10pi=-160pi

Resposta

-160\pi

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