Calcule
integral duplaS x z d S
em que S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=9, com x <= 0, y >= 0 e z >= 0.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer calcular a integral de superfície integral duplaS xz,dS sobre a parte da esfera x^2+y^2+z^2=9 onde x<=0, y>=0 e z>=0. O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar, e vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar a esfera e encontrar dS.

Passo 2

Parametrização esférica: em coordenadas esféricas escolhemos
x=3sinphicostheta, y=3sinphisintheta, z=3cosphi,
e o elemento de área na esfera de raio 3 é
dS=R^2sinphi,dphi,dtheta=9sinphi,dphi,dtheta

Passo 3

Determinação dos limites:
  • z>=0 implica 0<=phi<=tfracpi2.
  • y>=0 implica sintheta>=0 então 0<=theta<=pi.
  • x<=0 implica costheta<=0 então tfracpi2<=theta<=tfrac3pi2.
    A interseção de 0<=theta<=pi com tfracpi2<=theta<=tfrac3pi2 é

Passo 4

Expressão do integrando e montagem da integral:
xz=(3sinphicostheta)(3cosphi)=9sinphicosphicostheta,
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integral duplaS xz,dS=integraltheta=pi/2^piintegralphi=0^pi/29sinphicosphicosthetacdot9sinphi,dphi,dtheta

Passo 5

Separação da integral e cálculo do fator angular:
integralpi/2^picostheta,dtheta=[sintheta]pi/2^pi=0-1=-1

Passo 6

Cálculo da parte em phi:
Usando u=sinphi, du=cosphi,dphi, temos
integral0^pi/2sin^2phicosphi,dphi=integralu=0^1u^2,du=13

Passo 7

Produto dos resultados e conclusão:
Juntando tudo temos
81times(-1)times13=-27

Resposta

-27

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