Calcule
em que
é a parte da esfera
, com
e
.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente quer calcular a integral de superfície
sobre a parte da esfera
onde
,
e
. O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar, e vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar a esfera e encontrar
.
Passo 2
Parametrização esférica: em coordenadas esféricas escolhemos
e o elemento de área na esfera de raio 3 é
Passo 3
Determinação dos limites:
-
implica . -
implica então . -
implica então .
A interseção decom é
Passo 4
Expressão do integrando e montagem da integral:
logo
Passo 5
Separação da integral e cálculo do fator angular:
Passo 6
Cálculo da parte em
:
Usando ,
, temos
Usando
Passo 7
Produto dos resultados e conclusão:
Juntando tudo temos
Juntando tudo temos
Resposta
-27