Use o Teorema de Stokes para calcular
em que
é a curva parametrizada por
,
.
Dica: lembre-se que
.
Dica: lembre-se que
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. Esse teorema diz que podemos trocar essa integral de linha por uma integral de superfície:
Vamos precisar: 1) calcular o rotacional de
, 2) escolher uma superfície
com
e 3) fazer a integral dupla sobre a projeção dessa superfície.
Passo 2
Primeiro a gente calcula o rotacional de
com
,
,
.
Fazendo as derivadas:
,
,
,
,
,
. Logo
Passo 3
Como o caminho
é dado por
e
, faz sentido escolher a superfície
como o grafo
sobre o disco
. Parametrizamos por
. Então
O vetor normal (orientado para cima, compatível com
percorrido CCW visto de cima) é
. Calculando:
Assim o integrando fica
Mas sobre S temos
, então isso vira
.
Passo 4
Agora fazemos a integral dupla em coordenadas polares:
, com
. O integrando fica
multiplicado por
, ou seja
. Separando termos e integrando em
e em
, os dois primeiros dão zero (são integrais trigonometricamente simétricas) e sobra
Passo 5
Portanto, pela aplicação do Teorema de Stokes, a integral de linha vale
.
Resposta
-\pi