Use o Teorema de Stokes para calcular
F(x, y, z)=integralC(y+sen(x)) d x+(z^2+cos (y)) d y+43 x^3 d z
em que C é a curva parametrizada por r(t)=(cos (t), sen(t), sen(2 t)), 0 <= t <= 2 pi.
Dica: lembre-se que sen(2 theta)=2 cos (theta) sen(theta).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC (y+sin x),dx + (z^2+cos y),dy + tfrac43x^3,dz usando o Teorema de Stokes. Esse teorema diz que podemos trocar essa integral de linha por uma integral de superfície: integralC Fcdot d r = integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS Vamos precisar: 1) calcular o rotacional de F, 2) escolher uma superfície S com partial S=C e 3) fazer a integral dupla sobre a projeção dessa superfície.

Passo 2

Primeiro a gente calcula o rotacional de F=(P,Q,R) com P=y+sin x, Q=z^2+cos y, R=tfrac43x^3. nablatimes F=l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr)Fazendo as derivadas: partial R/partial y=0, partial Q/partial z=2z, partial P/partial z=0, partial R/partial x=4x^2, partial Q/partial x=0, partial P/partial y=1. Logo nablatimes F = (-2z,,-4x^2,,-1)

Passo 3

Como o caminho C é dado por x^2+y^2=1 e z=sin2t=2xy, faz sentido escolher a superfície S como o grafo z=2xy sobre o disco D:;x^2+y^2<=1. Parametrizamos por r(x,y)=(x,y,2xy). Então rx=(1,0,2y), ry=(0,1,2x)O vetor normal (orientado para cima, compatível com C percorrido CCW visto de cima) é n,dS= rxtimes ry,dA. Calculando: rxtimes ry = (-2y,-2x,1) Assim o integrando fica (nablatimes F)cdot( rxtimes ry)=(-2z,-4x^2,-1)cdot(-2y,-2x,1)=4yz+8x^3-1Mas sobre S temos z=2xy, então isso vira 8xy^2+8x^3-1.

Passo 4

Agora fazemos a integral dupla em coordenadas polares: x=rcostheta,;y=rsintheta,;dA=r,dr,dtheta, com 0<= r<=1,;0<=theta<=2pi. O integrando fica 8r^3costheta,r^2sin^2theta+8r^3cos^3theta -1multiplicado por r, ou seja 8r^4costhetasin^2theta+8r^4cos^3theta -r. Separando termos e integrando em r e em theta, os dois primeiros dão zero (são integrais trigonometricamente simétricas) e sobra -integral0^2pi!integral0^1 r,dr,dtheta = -l(tfrac12r)(2pi) = -pi

Passo 5

Portanto, pela aplicação do Teorema de Stokes, a integral de linha vale -pi.

Resposta

-\pi

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