Calcule o fluxo do campo
F=\left(3 x \cos ^{2} z+2 x z, \cos (x y)+(1+3 y) \operatorname{sen}^{2} z, 1-z^{2}\right)
através da superfície S do sólido W definido por
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 9\right\}
com orientação exterior.

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
F=\bigl(3x\cos^{2}z+2xz,\;\cos(xy)+(1+3y)\sin^{2}z,\;1-z^{2}\bigr)
e o sólido
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 1\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9\},
isto é, a casca esférica entre as esferas de raio 1 e 3. A superfície S é a fronteira de W com orientação exterior.
O que o problema pede: calcular o fluxo de F através de S, ou seja
\iint_{S}F\cdot n\,dS,
onde n é o vetor normal exterior a W.
Passos e dados relevantes extraídos:
  • A fronteira S consiste em duas superfícies: a esfera de raio 3 e a esfera de raio 1.
  • A orientação exterior significa normaais apontando para fora de W: na esfera externa isto é radial para fora; na esfera interna a normal exterior ao sólido aponta em direção ao centro (radial para dentro da esfera de raio 1).
  • O campo F tem componentes suficientemente suaves (deriváveis) para aplicar teoremas de integração sobre volumes.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática do teorema que vou usar). Vamos aplicar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss) porque:
  • ele transforma o cálculo do fluxo através da fronteira fechada S num integral triplo sobre o volume W, o que costuma simplificar quando a região é simétrica como aqui;
  • as componentes de F são diferenciáveis, e W é uma região com fronteira suave, logo as hipóteses do teorema são satisfeitas.
O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial F suficientemente suave e uma região sólida W com fronteira orientada externamente,
\iint_{S}F\cdot n\,dS=\iiint_{W}\nabla\cdot F\,dV,
onde a divergência \nabla\cdot F é a soma das derivadas parciais das componentes de F:
\nabla\cdot F=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Vou calcular \nabla\cdot F passo a passo.

Passo 3

Cálculo da divergência \nabla\cdot F.
As componentes são
F_1(x,y,z)=3x\cos^{2}z+2xz, \qquad F_2(x,y,z)=\cos(xy)+(1+3y)\sin^{2}z, \qquad F_3(x,y,z)=1-z^{2}.
Derivadas parciais:
  • Para \frac{\partial F_1}{\partial x}: tratar z como constante. A derivada de 3x\cos^{2}z em relação a x é 3\cos^{2}z. A derivada de 2xz em relação a x é 2z. Assim
\frac{\partial F_1}{\partial x}=3\cos^{2}z+2z.
  • Para \frac{\partial F_2}{\partial y}: usar regra da cadeia na parte \cos(xy). Derivada de \cos(xy) em relação a y é -\sin(xy)\cdot x (porque \frac{d}{dy}\cos(u)=-\sin(u)\,u' e aqui u=xy, u'=x). Na parte (1+3y)\sin^{2}z a dependência em y é apenas em 1+3y, então a derivada é 3\sin^{2}z. Logo
\frac{\partial F_2}{\partial y}=-x\sin(xy)+3\sin^{2}z.
  • Para \frac{\partial F_3}{\partial z}: derivada de 1-z^{2} é -2z. Assim
\frac{\partial F_3}{\partial z}=-2z.
Somando as três parcelas:
\nabla\cdot F=(3\cos^{2}z+2z)+(-x\sin(xy)+3\sin^{2}z)+(-2z).
Os termos 2z e -2z cancelam. Agrupando os termos trigonométricos:
3\cos^{2}z+3\sin^{2}z = 3(\cos^{2}z+\sin^{2}z)=3.
Portanto
\nabla\cdot F=3 - x\sin(xy).

Passo 4

Expressar o fluxo como integral tripla e separar termos.
Pelo Teorema da Divergência:
\iint_{S}F\cdot n\,dS=\iiint_{W}\bigl(3 - x\sin(xy)\bigr)\,dV.
Divido em duas integrais:
\iiint_{W}3\,dV \;-\; \iiint_{W} x\sin(xy)\,dV.
Vou calcular cada uma separadamente.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \iiint_{W}3\,dV.
Isto é 3 vezes o volume de W. A região W é a casca entre as esferas de raio 1 e 3, logo seu volume é
\operatorname{Vol}(W)=\frac{4}{3}\pi(3^{3})-\frac{4}{3}\pi(1^{3})=\frac{4}{3}\pi(27-1)=\frac{4}{3}\pi\cdot 26.
Multiplicando por 3:
\iiint_{W}3\,dV = 3\cdot \frac{4}{3}\pi\cdot 26 = 4\pi\cdot 26 = 104\pi.
(Se preferir pensar em coordenadas esféricas: dV=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta e integrar 3 de r=1 a 3, \varphi=0 a \pi, \theta=0 a 2\pi dá o mesmo resultado.)

Passo 6

Cálculo de \displaystyle \iiint_{W} x\sin(xy)\,dV (mostrando que é zero por simetria).
Observe a função g(x,y,z)=x\sin(xy). Vamos verificar sua paridade em relação a reflexões coordenadas:
  • Se trocarmos y por -y (ou seja, aplicar reflexão em torno do plano y=0), temos
g(x,-y,z)=x\sin\bigl(x(-y)\bigr)=x\sin(-xy)=-x\sin(xy)=-g(x,y,z).
Logo g é uma função ímpar em y.
A região W é simétrica em relação ao plano y=0 (pois depende apenas de x^{2}+y^{2}+z^{2}). A integral de uma função ímpar em y sobre uma região simétrica em y é zero, porque para cada ponto (x,y,z) existe o ponto refletido (x,-y,z) com contribuição oposta. Portanto
\iiint_{W} x\sin(xy)\,dV = 0.
(Alternativa equivalente: fixando x,z, a integral em y de \sin(xy) sobre o intervalo simétrico em torno de zero anula-se; combinando com integro em x,z obtém-se zero.)

Passo 7

Conclusão — soma das parcelas.
Juntando os resultados dos passos anteriores:
\iint_{S}F\cdot n\,dS = \iiint_{W}3\,dV \;-\; \iiint_{W} x\sin(xy)\,dV = 104\pi - 0 = 104\pi.

Resposta

104\pi

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