Calcule o fluxo do campo
através da superfície
do sólido
definido por
com orientação exterior.
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial
e o sólido
isto é, a casca esférica entre as esferas de raio
e
. A superfície
é a fronteira de
com orientação exterior.
O que o problema pede: calcular o fluxo de através de
, ou seja
O que o problema pede: calcular o fluxo de
onde
é o vetor normal exterior a
.
Passos e dados relevantes extraídos:
- A fronteira
consiste em duas superfícies: a esfera de raio e a esfera de raio . - A orientação exterior significa normaais apontando para fora de
: na esfera externa isto é radial para fora; na esfera interna a normal exterior ao sólido aponta em direção ao centro (radial para dentro da esfera de raio ). - O campo
tem componentes suficientemente suaves (deriváveis) para aplicar teoremas de integração sobre volumes.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicação didática do teorema que vou usar). Vamos aplicar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss) porque:
- ele transforma o cálculo do fluxo através da fronteira fechada
num integral triplo sobre o volume , o que costuma simplificar quando a região é simétrica como aqui; - as componentes de
são diferenciáveis, e é uma região com fronteira suave, logo as hipóteses do teorema são satisfeitas.
O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial
suficientemente suave e uma região sólida
com fronteira orientada externamente,
onde a divergência
é a soma das derivadas parciais das componentes de
:
Vou calcular
passo a passo.
Passo 3
Cálculo da divergência
.
As componentes são
Derivadas parciais:
- Para
: tratar como constante. A derivada de em relação a é . A derivada de em relação a é . Assim
- Para
: usar regra da cadeia na parte . Derivada de em relação a é (porque e aqui , ). Na parte a dependência em é apenas em , então a derivada é . Logo
- Para
: derivada de é . Assim
Somando as três parcelas:
Os termos
e
cancelam. Agrupando os termos trigonométricos:
Portanto
Passo 4
Expressar o fluxo como integral tripla e separar termos.
Pelo Teorema da Divergência:
Divido em duas integrais:
Vou calcular cada uma separadamente.
Passo 5
Cálculo de
.
Isto é
vezes o volume de
. A região
é a casca entre as esferas de raio
e
, logo seu volume é
Multiplicando por
:
(Se preferir pensar em coordenadas esféricas:
e integrar
de
a
,
a
,
a
dá o mesmo resultado.)
Passo 6
Cálculo de
(mostrando que é zero por simetria).
Observe a função
. Vamos verificar sua paridade em relação a reflexões coordenadas:
- Se trocarmos
por (ou seja, aplicar reflexão em torno do plano ), temos
Logo
é uma função ímpar em
.
A região
é simétrica em relação ao plano
(pois depende apenas de
). A integral de uma função ímpar em
sobre uma região simétrica em
é zero, porque para cada ponto
existe o ponto refletido
com contribuição oposta. Portanto
(Alternativa equivalente: fixando
, a integral em
de
sobre o intervalo simétrico em torno de zero anula-se; combinando com integro em
obtém-se zero.)
Passo 7
Conclusão — soma das parcelas.
Juntando os resultados dos passos anteriores: