Use o Teorema de Stokes para calcular
, onde
é
é a curva parametrizada por
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde
e a curva
é dada pela parametrização
Observações importantes extraídas do enunciado:
- A curva
foi fornecida por essa parametrização com extremos em e . - A integral pedida é a integral de linha ao longo de
.
Repare que o Teorema de Stokes exige que a curva
seja fechada (é a fronteira de alguma superfície orientada). Aqui temos
e
, que são pontos diferentes, logo
NÃO é fechada. Portanto NÃO podemos aplicar diretamente o Teorema de Stokes para transformar a integral de linha numa integral de superfície. Assim, vamos calcular a integral de linha diretamente pela parametrização, que é o caminho correto quando
é aberta.
Passo 2
Lembrete didático rápido sobre integral de linha de um campo vetorial: se
é a parametrização de
e
, então
Aqui
é a derivada componente a componente da parametrização, e
é o campo avaliado ao longo da curva. Vamos aplicar essa fórmula.
Passo 3
Calcular
. Com
temos, derivando componente a componente,
Passo 4
Avaliar
sobre
. Substituindo
,
,
em cada componente de
:
Passo 5
Formar o produto escalar
. Escrevendo
e
para facilitar, temos
Substituindo as expressões:
Agora expandimos e simplificamos termo a termo (a conta é longa mas vale a pena ver a estrutura). Ao expandir e agrupar termos trigonométricos obtém-se, após simplificação,
Explicação das manipulações principais:
- Apareceram termos com
e que somaram para , e usando virou . - Termos
deram . - Termos quadráticos se reuniram em
. - Os termos lineares em funções trigonométricas reuniram-se em
, que é exatamente a derivada de .
Passo 6
Reconhecer que
é derivada de uma função explícita. Observa-se que
Somando essas três derivadas obtemos exatamente
. Assim uma primitiva de
é
Portanto
Passo 7
Avaliar
nos extremos. Primeiro
:
Agora
. Note que
,
,
. Logo
Como
, a integral vale
.]