Use o Teorema de Stokes para calcular \int_{C} F d r, onde F=(y z-y+1, x z+x+1, x y) é C é a curva parametrizada por r(t)=\left(t \cos t, t \operatorname{sen} t, t^{2}\right), 0 \leq t \leq \frac{3 \pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} F\cdot d r onde
F=(y z-y+1,\; x z+x+1,\; x y)
e a curva C é dada pela parametrização
r(t)=\big(t\cos t,\; t\operatorname{sen} t,\; t^{2}\big),\qquad 0\le t\le \tfrac{3\pi}{2}.
Observações importantes extraídas do enunciado:
  • A curva C foi fornecida por essa parametrização com extremos em t=0 e t=\tfrac{3\pi}{2}.
  • A integral pedida é a integral de linha ao longo de C.
Repare que o Teorema de Stokes exige que a curva C seja fechada (é a fronteira de alguma superfície orientada). Aqui temos r(0)=(0,0,0) e r(\tfrac{3\pi}{2})=\big(0,-\tfrac{3\pi}{2},(\tfrac{3\pi}{2})^{2}\big), que são pontos diferentes, logo C NÃO é fechada. Portanto NÃO podemos aplicar diretamente o Teorema de Stokes para transformar a integral de linha numa integral de superfície. Assim, vamos calcular a integral de linha diretamente pela parametrização, que é o caminho correto quando C é aberta.

Passo 2

Lembrete didático rápido sobre integral de linha de um campo vetorial: se r(t) é a parametrização de C e F=(F_{1},F_{2},F_{3}), então
\int_{C} F\cdot d r=\int_{a}^{b} F\big(r(t)\big)\cdot r'(t)\,dt.
Aqui r'(t) é a derivada componente a componente da parametrização, e F(r(t)) é o campo avaliado ao longo da curva. Vamos aplicar essa fórmula.

Passo 3

Calcular r'(t). Com r(t)=\big(t\cos t,\\ t\operatorname{sen} t,\\ t^{2}\big) temos, derivando componente a componente,
r'(t)=\big(\cos t - t\operatorname{sen} t,\\ \operatorname{sen} t + t\cos t,\\\ 2t\big).

Passo 4

Avaliar F sobre r(t). Substituindo x=t\cos t, y=t\operatorname{sen} t, z=t^{2} em cada componente de F:
\begin{aligned} F_{1}\big(r(t)\big)&=y z - y +1 = (t\operatorname{sen} t)(t^{2}) - t\operatorname{sen} t +1 = t^{3}\operatorname{sen} t - t\operatorname{sen} t +1,\\[4pt] F_{2}\big(r(t)\big)&=x z + x +1 = (t\cos t)(t^{2}) + t\cos t +1 = t^{3}\cos t + t\cos t +1,\\[4pt] F_{3}\big(r(t)\big)&=x y = (t\cos t)(t\operatorname{sen} t) = t^{2}\cos t\operatorname{sen} t. \end{aligned}]

Passo 5

Formar o produto escalar F(r(t))\cdot r'(t). Escrevendo A(t)=\cos t - t\operatorname{sen} t e B(t)=\operatorname{sen} t + t\cos t para facilitar, temos
F(r(t))\cdot r'(t)=F_{1}(t)A(t)+F_{2}(t)B(t)+F_{3}(t)\cdot(2t).
Substituindo as expressões:
\begin{aligned} I(t)&= \big(t^{3}\operatorname{sen} t - t\operatorname{sen} t +1\big)\big(\cos t - t\operatorname{sen} t\big)\\\ &\quad +\big(t^{3}\cos t + t\cos t +1\big)\big(\operatorname{sen} t + t\cos t\big) + \big(t^{2}\cos t\operatorname{sen} t\big)\cdot 2t. \end{aligned}
Agora expandimos e simplificamos termo a termo (a conta é longa mas vale a pena ver a estrutura). Ao expandir e agrupar termos trigonométricos obtém-se, após simplificação,
I(t)=2t^{3}\sin 2t + t^{4}\cos 2t + t^{2} + \cos t + \operatorname{sen} t + t(\cos t - \operatorname{sen} t).
Explicação das manipulações principais:
  • Apareceram termos com t^{3}\sin t\cos t e t^{3}\sin t\cos t que somaram para 2t^{3}\sin t\cos t, e usando 2\sin t\cos t=\sin 2t virou 2t^{3}\sin 2t.
  • Termos t^{4}(\cos^{2}t-\sin^{2}t) deram t^{4}\cos 2t.
  • Termos quadráticos se reuniram em t^{2}.
  • Os termos lineares em funções trigonométricas reuniram-se em \cos t + \operatorname{sen} t + t(\cos t - \operatorname{sen} t), que é exatamente a derivada de t(\operatorname{sen} t+\cos t).

Passo 6

Reconhecer que I(t) é derivada de uma função explícita. Observa-se que
\frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}t^{4}\sin 2t\right) =2t^{3}\sin 2t + t^{4}\cos 2t,
\frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{t^{3}}{3}\right)=t^{2},
\frac{d}{dt}\!\big(t(\operatorname{sen} t+\cos t)\big)=\operatorname{sen} t+\cos t + t(\cos t-\operatorname{sen} t).
Somando essas três derivadas obtemos exatamente I(t). Assim uma primitiva de I(t) é
G(t)=\tfrac{1}{2}t^{4}\sin 2t + \tfrac{t^{3}}{3} + t(\operatorname{sen} t+\cos t).
Portanto
\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} I(t)\,dt = G\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)-G(0).

Passo 7

Avaliar G nos extremos. Primeiro t=0:
G(0)=\tfrac{1}{2}\cdot 0 + 0 + 0\cdot(\operatorname{sen} 0+\cos 0)=0.
Agora t=\tfrac{3\pi}{2}. Note que \sin\big(2\cdot \tfrac{3\pi}{2}\big)=\sin(3\pi)=0, \operatorname{sen}\big(\tfrac{3\pi}{2}\big)=-1, \cos\big(\tfrac{3\pi}{2}\big)=0. Logo
\begin{aligned} G\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) &= \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)^{4}\cdot 0 + \tfrac{1}{3}\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)^{3} + \tfrac{3\pi}{2}\big(\operatorname{sen}(\tfrac{3\pi}{2})+\cos(\tfrac{3\pi}{2})\big)\\[4pt] &= 0 + \tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{27\pi^{3}}{8} + \tfrac{3\pi}{2}\cdot(-1)\\[4pt] &= \tfrac{9\pi^{3}}{8} - \tfrac{3\pi}{2}. \end{aligned}
Como G(0)=0, a integral vale G(\tfrac{3\pi}{2}).]

Resposta

\displaystyle \int_{C} F\cdot d r=\tfrac{9\pi^{3}}{8}-\tfrac{3\pi}{2}

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