Calcule
, onde
e
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
, com
apontando para fora do sólido.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do fluxo
onde
e
é a superfície fechada do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
. O vetor normal
aponta para fora do sólido.
Informações dadas e o que precisamos:
- Campo de vetores:
. - Região
: cilindro de raio em torno do eixo , limitado entre e . - Superfície
: composta pela superfície lateral do cilindro e pelos discos superior ( ) e inferior ( ). - Objetivo: encontrar o valor numérico do fluxo
com apontando para fora.
Passo 2
Decidindo o método: como
é a fronteira de um sólido fechado
e
é um campo cujas componentes são polinômios (logo diferenciáveis em todo
), é conveniente usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss). Vou enunciar-o de modo prático:
Teorema da Divergência (forma útil aqui):
onde
e
é o vetor unitário externo à superfície fechada
.
Justificativa rápida: temos uma superfície fechada e um campo suave, então podemos trocar o cálculo do fluxo pela integral tripla da divergência sobre o volume.
Passo 3
Calcular a divergência de
. As componentes de
são
,
,
. Então
Calculemos cada derivada:
-
(tratando como constante), -
, -
(pois não depende de ).
Portanto
Passo 4
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo pedido é
Agora precisamos calcular essa integral tripla sobre o cilindro de raio
e altura
(de
a
).
Passo 5
Mudar para coordenadas cilíndricas torna essa integral muito simples. Em coordenadas cilíndricas:
e
. O elemento volume é
(esse fator
é o jacobiano da mudança). Os limites da região
são:
Assim a integral fica
Passo 6
Calcule a integral por partes (ordem conveniente: primeiro
, depois
, por fim
):
Integral em
:
Integral em
:
Integral em
:
Multiplicando os resultados:
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida: o uso do Teorema da Divergência foi apropriado porque
é a fronteira de um volume fechado e
é suave. A integranda
é radial, por isso a simplificação em coordenadas cilíndricas foi natural. O resultado obtido é um número positivo
, razoável para um fluxo que soma contribuições simétricas ao redor do eixo.