Calcule \iint_{S} F \cdot n d S, onde F=\left(x y^{2}, x^{2} y, y\right) e S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 e pelos planos z=1 e z=-1, com n apontando para fora do sólido.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do fluxo
\iint_{S} F\cdot n\,dS
onde F=(x y^{2},\,x^{2} y,\,y) e S é a superfície fechada do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 e pelos planos z=1 e z=-1. O vetor normal n aponta para fora do sólido.
Informações dadas e o que precisamos:
  • Campo de vetores: F=(x y^{2},\,x^{2} y,\,y).
  • Região V: cilindro de raio 1 em torno do eixo z, limitado entre z=-1 e z=1.
  • Superfície S=\partial V: composta pela superfície lateral do cilindro e pelos discos superior ( z=1) e inferior ( z=-1).
  • Objetivo: encontrar o valor numérico do fluxo \iint_{S} F\cdot n\,dS com n apontando para fora.

Passo 2

Decidindo o método: como S é a fronteira de um sólido fechado V e F é um campo cujas componentes são polinômios (logo diferenciáveis em todo \mathbb{R}^3), é conveniente usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss). Vou enunciar-o de modo prático:
Teorema da Divergência (forma útil aqui):
\iint_{\partial V} F\cdot n\,dS \;=\; \iiint_{V} \operatorname{div}F\,dV,
onde \operatorname{div}F=\dfrac{\partial F_1}{\partial x}+\dfrac{\partial F_2}{\partial y}+\dfrac{\partial F_3}{\partial z} e n é o vetor unitário externo à superfície fechada \partial V.
Justificativa rápida: temos uma superfície fechada e um campo suave, então podemos trocar o cálculo do fluxo pela integral tripla da divergência sobre o volume.

Passo 3

Calcular a divergência de F. As componentes de F são F_1=x y^{2}, F_2=x^{2}y, F_3=y. Então
\operatorname{div}F=\frac{\partial}{\partial x}(x y^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)+\frac{\partial}{\partial z}(y).
Calculemos cada derivada:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x y^{2}) = y^{2} (tratando y como constante),
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}y) = x^{2},
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(y) = 0 (pois y não depende de z).
Portanto
\operatorname{div}F = y^{2} + x^{2} = x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo pedido é
\iint_{S} F\cdot n\,dS \;=\; \iiint_{V} (x^{2}+y^{2})\,dV.
Agora precisamos calcular essa integral tripla sobre o cilindro de raio 1 e altura 2 (de z=-1 a z=1).

Passo 5

Mudar para coordenadas cilíndricas torna essa integral muito simples. Em coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
e x^{2}+y^{2}=r^{2}. O elemento volume é dV = r\,dr\,d\theta\,dz (esse fator r é o jacobiano da mudança). Os limites da região V são:
0\le r\le 1,\qquad 0\le\theta\le 2\pi,\qquad -1\le z\le 1.
Assim a integral fica
\iiint_{V} (x^{2}+y^{2})\,dV \;=\; \int_{z=-1}^{1}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta\,dz \;=\; \int_{-1}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 6

Calcule a integral por partes (ordem conveniente: primeiro r, depois \theta, por fim z):
Integral em r:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Integral em z:
\int_{-1}^{1} dz = 2.
Multiplicando os resultados:
\iiint_{V} (x^{2}+y^{2})\,dV = \left(\frac{1}{4}\right)\cdot (2\pi)\cdot 2 = \frac{1}{4}\cdot 4\pi = \pi.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: o uso do Teorema da Divergência foi apropriado porque S é a fronteira de um volume fechado e F é suave. A integranda x^{2}+y^{2} é radial, por isso a simplificação em coordenadas cilíndricas foi natural. O resultado obtido é um número positivo \pi, razoável para um fluxo que soma contribuições simétricas ao redor do eixo.

Resposta

\pi

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