Calcule o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=(4 x) i+(4 y) j+(2) k através da superfície orientada S do parabolóide z=x^2+y^2 com 1 <= z <= 4 com normal apontando para o eixo z

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F(x,y,z)=(4x,4y,2) através da superfície lateral do paraboloide
z = x^2 + y^2, 1 <= z <= 4
com a normal apontando para o eixo z (isto é, “para dentro” do paraboloide).
Conteúdo: cálculo de fluxo via parametrização e produto vetorial para obter n,dS.

Passo 2

Parametrizamos o paraboloide em coordenadas cilíndricas:
phi(r,theta) = l(x,y,zr) = l(rcostheta,;rsintheta,;r^2r),
onde ,r^2=z varia de r=1 até r=2 e thetain[0,2pi].

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes e o produto vetorial:
phir = (costheta,;sintheta,;2r), phitheta = (-rsintheta,;rcostheta,;0)
phirtimesphitheta = i & j & k costheta & sintheta & 2r -rsintheta & rcostheta & 0 = l(-2r^2costheta,;-2r^2sintheta,;rr)
Este vetor está orientado para dentro (verifica-se que aponta em direção ao eixo z).

Passo 4

Expressamos vec F na parametrização e montamos o integrando:
vec F(phi(r,theta)) = l(4rcostheta,;4rsintheta,;2r),
vec Fl(phi(r,theta)r)cdotl(phirtimesphithetar) =4rcosthetal(-2r^2costhetar) +4rsinthetal(-2r^2sinthetar) +2cdot r =-8r^3(cos^2theta+sin^2theta)+2r =-8r^3+2r

Passo 5

O fluxo é
integral duplaSvec Fcdot n,dS =integraltheta=0^2pi!integralr=1^2l(-8r^3+2rr),dr,dtheta
Calculemos a integral em r:
integral1^2(-8r^3+2r),dr =l[-2r^4 + r^2r]1^2 =l(-2cdot16+4r)-l(-2cdot1+1r) =-28-(-1) =-27
Então
integral duplaSvec Fcdot n,dS = integral0^2pi(-27),dtheta = -27cdot2pi = -54pi

Resposta

-54pi

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