Faça o gráfico de cada função.
y=12 tan (x-pi4)

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da função trigonométrica
y = 12,tan!l(x - tfracpi4r)
O conteúdo envolvido é transformação de gráfico de tan x: deslocamento horizontal e escala vertical. Para resolver, precisamos saber as propriedades da tangente — período, domínio, assíntotas verticais e comportamento típico do seu gráfico — e depois aplicar o deslocamento xmapsto x-tfracpi4 e a compressão vertical por fator tfrac12.

Passo 2

Determinar o período e o efeito da escala vertical.
A função básica tan x tem período pi. Como não há multiplicação no argumento de tan, o período permanece
T = pi
Multiplicar por tfrac12 comprimirá o crescimento do gráfico (as ordenadas serão metade das originais), mas não altera o domínio nem o período.

Passo 3

Encontrar as assíntotas verticais.
tantheta é indefinida sempre que
theta = pm tfracpi2 + kpi, kinZ
Aqui theta = x - tfracpi4, logo as assíntotas satisfazem
x - tfracpi4 = pm tfracpi2 + kpi ;Longrightarrow; x = tfracpi4 pm tfracpi2 + kpi
Isto gera duas famílias:
x = -tfracpi4 + kpi e x = tfrac3pi4 + kpi, kinZ

Passo 4

Obter pontos-chave em um período típico, por exemplo no intervalo
l(-tfracpi4,;tfrac3pi4r),
entre duas assíntotas consecutivas.
1. No ponto médio x=tfracpi4:
theta = x-tfracpi4 = 0 Rightarrow tantheta=0 Rightarrow
yl(tfracpi4r)=tfrac12cdot0=0
2. Em x=0:
theta = -tfracpi4 Rightarrow tan(-tfracpi4)=-1 Rightarrow
y(0)=tfrac12cdot(-1)=-tfrac12
3. Em x=tfracpi2:
theta = tfracpi4 Rightarrow tan(tfracpi4)=1 Rightarrow
yl(tfracpi2r)=tfrac12cdot1=tfrac12
O ramo parte de yto-infty quando xto(-tfracpi4)^+, cresce passando por (0,-tfrac12), (tfracpi4,0), (tfracpi2,tfrac12) e vai a yto+infty quando xto(tfrac3pi4)^-.

Passo 5

Repetir esse padrão para todo kinZ:
  • Desenhar ramos idênticos, cada um delimitado pelas assíntotas
    x=-tfracpi4+kpi e x=tfrac3pi4+kpi.
  • Os pontos-chave em cada ramo são obtidos somando kpi a 0, tfracpi4 e tfracpi2.

Resposta

O gráfico de y=tfrac12tan(x-tfracpi4) é um feixe de curvas periódicas de período pi, comprimidas verticalmente de modo que os valores de tan fiquem pela metade, deslocadas para a direita em tfracpi4.
As assíntotas verticais ocorrem em
x=-tfracpi4 + kpi e x=tfrac3pi4 + kpi, kinZ,
e em cada intervalo l(-tfracpi4+kpi,tfrac3pi4+kpir) o gráfico cresce de -infty a +infty, passando centralmente por l(tfracpi4+kpi,0r), l(0+kpi,-tfrac12r) e l(tfracpi2+kpi,tfrac12r).

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