Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função. [Curiosidade: as funções senh, cosh e tanh são ditas seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica] [Observação:
]
Passo 1
O enunciado pede para identificar onde são diferenciáveis as funções
,
e
, e calcular as respectivas derivadas. Vamos precisar das definições em termos de exponenciais
e da regra do quociente para
, além da identidade
Passo 2
Para
usamos a linearidade da derivada e o fato de
. Assim,
Como exponenciais são diferenciáveis em todo
,
é diferenciável em todos os reais.
Passo 3
Para
fazemos procedimento análogo:
Logo
também é diferenciável em todo
.
Passo 4
Para
aplicamos a regra do quociente:
Usando
e observando que
para todo
, obtemos
Portanto
é diferenciável em todo
.