Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função. [Curiosidade: as funções senh, cosh e tanh são ditas seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica] [Observação:
cosh ^2(x)-senh^2(x)=1 ]
tanh (x)=senh(x)cosh (x)

Passo 1

O enunciado pede para identificar onde são diferenciáveis as funções
senh(x), cosh(x) e tanh(x), e calcular as respectivas derivadas. Vamos precisar das definições em termos de exponenciais
senh(x)=e^x-e^-x2, cosh(x)=e^x+e^-x2,
e da regra do quociente para tanh(x)=senh(x)cosh(x), além da identidade
cosh^2(x)-senh^2(x)=1

Passo 2

Para senh(x)=tfrace^x-e^-x2 usamos a linearidade da derivada e o fato de ddxe^x=e^x. Assim,
ddxsenh(x) =12l(e^x+e^-xr) =cosh(x)
Como exponenciais são diferenciáveis em todo R, senh(x) é diferenciável em todos os reais.

Passo 3

Para cosh(x)=tfrace^x+e^-x2 fazemos procedimento análogo:
ddxcosh(x) =12l(e^x-e^-xr) =senh(x)
Logo cosh(x) também é diferenciável em todo R.

Passo 4

Para tanh(x)=senh(x)cosh(x) aplicamos a regra do quociente:
ddxtanh(x) =cosh(x)cdotddxsenh(x)-senh(x)cdotddxcosh(x)cosh^2(x) =cosh^2(x)-senh^2(x)cosh^2(x)
Usando cosh^2(x)-senh^2(x)=1 e observando que cosh(x)>0 para todo x, obtemos
ddxtanh(x)=1cosh^2(x)
Portanto tanh(x) é diferenciável em todo R.

Resposta

senh(x) é diferenciável em todo R e ddxsenh(x)=cosh(x). cosh(x) é diferenciável em todo R e ddxcosh(x)=senh(x). tanh(x) é diferenciável em todo R e ddxtanh(x)=1cosh^2(x)

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