Calcule o fluxo do escoamento de um fluido com velocidade \vec{v}(x, y, z)=10 \vec{\imath}+\left(x^{2}+y^{2}\right) \vec{\jmath}-2 x y \vec{k} através de uma superfície permeável com equações paramétricas x=u, y=vz=1-u^{2}-v^{2} com 0 \leq u \leq 1 e 0 \leq v \leq 1 com vetor normal \vec{n}=\frac{\vec{r}_{u} \times \vec{r}_{v}}{\left\|\vec{r}_{u} \times \vec{r}_{v}\right\|}.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\vec{v}\cdot\vec{n}\,dS
do campo de velocidade \vec{v}(x,y,z)=10\,\vec{\imath}+(x^{2}+y^{2})\,\vec{\jmath}-2xy\,\vec{k}
através da superfície parametrizada por
onde \vec{n}=(\vec{r}_{u}\times\vec{r}_{v})/\|\vec{r}_{u}\times\vec{r}_{v}\|.
Para evitar calcular \|\vec{r}_{u}\times\vec{r}_{v}\| separadamente, usaremos