Calcule o fluxo do escoamento de um fluido com velocidade \vec{v}(x, y, z)=10 \vec{\imath}+\left(x^{2}+y^{2}\right) \vec{\jmath}-2 x y \vec{k} através de uma superfície permeável com equações paramétricas x=u, y=v z=1-u^{2}-v^{2} com 0 \leq u \leq 1 e 0 \leq v \leq 1 com vetor normal \vec{n}=\frac{\vec{r}_{u} \times \vec{r}_{v}}{\left\|\vec{r}_{u} \times \vec{r}_{v}\right\|}.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\vec{v}\cdot\vec{n}\,dS
do campo de velocidade \vec{v}(x,y,z)=10\,\vec{\imath}+(x^{2}+y^{2})\,\vec{\jmath}-2xy\,\vec{k}
através da superfície parametrizada por
\vec{r}(u,v)=(u,v,1-u^{2}-v^{2}),\quad 0\le u\le1,\;0\le v\le1,
onde \vec{n}=(\vec{r}_{u}\times\vec{r}_{v})/\|\vec{r}_{u}\times\vec{r}_{v}\|.
Para evitar calcular \|\vec{r}_{u}\times\vec{r}_{v}\| separadamente, usaremos
\vec{v}\cdot\vec{n}\,dS =\vec{v}\bigl(\vec{r}(u,v)\bigr)\cdot\bigl(\vec{r}_{u}\times\vec{r}_{v}\bigr)\,du\,dv.

Passo 2

Calcular \vec{r}_{u} e \vec{r}_{v}:
\vec{r}_{u}=(1,0,-2u),\qquad \vec{r}_{v}=(0,1,-2v).
O produto vetorial é
\vec{r}_{u}\times\vec{r}_{v} =\bigl(0\cdot(-2v)-(-2u)\cdot1,\;-\bigl(1\cdot(-2v)-(-2u)\cdot0\bigr),\;1\cdot1-0\cdot0\bigr) =(2u,2v,1).

Passo 3

Avaliar \vec{v} na parametrização:
\vec{v}\bigl(\vec{r}(u,v)\bigr) =\bigl(10,\;u^{2}+v^{2},\;-2uv\bigr).

Passo 4

Formar o produto escalar para obter o integrando:
\vec{v}\bigl(\vec{r}(u,v)\bigr)\cdot(\vec{r}_{u}\times\vec{r}_{v}) =10\cdot2u+(u^{2}+v^{2})\cdot2v+(-2uv)\cdot1 =20u+2u^{2}v+2v^{3}-2uv.

Passo 5

O fluxo é então
\iint_{D}\bigl(20u+2u^{2}v+2v^{3}-2uv\bigr)\,du\,dv,
com D=[0,1]\times[0,1].

Passo 6

Calcular cada termo separadamente:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}20u\,du\,dv =20\cdot\frac12\cdot1=10,
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}2u^{2}v\,du\,dv =2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3},
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}2v^{3}\,du\,dv =2\cdot1\cdot\frac{1}{4}=\frac12,
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(-2uv)\,du\,dv =-2\cdot\frac12\cdot\frac12=-\frac12.
Somando:
10+\frac{1}{3}+\frac12-\frac12 =10+\frac{1}{3} =\frac{31}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{31}{3}

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