Calcule \iint_{S} x^{2} y d S, onde S é a porção do cilindro x^{2}+z^{2}=1 entre os planos y=0 e y=1 e acima do plano x y . \backslash

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} x^{2}y\,dS
onde S é a porção do cilindro x^{2}+z^{2}=1 com 0\le y\le1 e “acima do plano xy” (isto é, z\ge0). Vamos usar uma parametrização natural do cilindro em coordenadas cilíndricas, restringindo o ângulo para o semicírculo superior.

Passo 2

Escolhemos parâmetros (\theta,y) tais que
x=\cos\theta,\quad z=\sin\theta,\quad y=y,
com domínio
0\le\theta\le\pi,\quad 0\le y\le1.

Passo 3

Para o cilindro de raio 1, o elemento de área é
dS = \bigl\lvert \partial_{\theta}\mathbf r\times\partial_{y}\mathbf r\bigr\rvert\,d\theta\,dy =1\cdot d\theta\,dy = d\theta\,dy.
Logo, não há fator extra além de d\theta\,dy.

Passo 4

Na parametrização, x^{2}y=(\cos^{2}\theta)\,y. Assim a integral fica
\iint_{S}x^{2}y\,dS =\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{1}(\cos^{2}\theta)\,y\;dy\;d\theta.

Passo 5

Podemos separar as integrais em produto:
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad \int_{0}^{1}y\,dy.

Passo 6

Calculando cada uma:
\int_{0}^{1}y\,dy =\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac12,
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta =\frac{\pi}{2}
(pois \int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\tfrac12\int_{0}^{\pi}(1+\cos2\theta)\,d\theta=\tfrac12\cdot\pi). Portanto
\iint_{S}x^{2}y\,dS =\frac{\pi}{2}\cdot\frac12 =\frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

Exercícios relacionados