Considere uma superfície parametrizada por x=x, y=y, z=f(x, y), onde (x, y) \in D. Mostre que a área dessa superfície é dada por
A(S)=\iint_{D} \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}} d A

Passo 1

O enunciado pede a área de uma superfície S descrita como o gráfico de uma função z=f(x,y) sobre uma região D do plano xy. O conteúdo é superfície parametrizada e usamos a fórmula geral da área de uma superfície dada por um mapeamento \mathbf{r}(u,v):
A(S)=\iint_{D}\bigl\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr\|\,dA.
Vamos aplicar isso com parâmetros u=x e v=y.

Passo 2

Definimos o vetor de parametrização
\mathbf{r}(x,y)=\bigl(x,\;y,\;f(x,y)\bigr).
Aqui (x,y)\in D e \mathbf{r} leva pontos de D para pontos de S.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de \mathbf{r}:
\mathbf{r}_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x,y,f(x,y)\bigr) = \bigl(1,\;0,\;f_x(x,y)\bigr),
\mathbf{r}_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x,y,f(x,y)\bigr) = \bigl(0,\;1,\;f_y(x,y)\bigr),
onde f_x=\partial f/\partial x e f_y=\partial f/\partial y.

Passo 4

Agora formamos o produto vetorial
\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 0 & f_x\\\\ 0 & 1 & f_y \end{vmatrix} = \bigl(-f_x,\,-f_y,\;1\bigr).

Passo 5

A norma desse vetor é
\bigl\|\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y\bigr\| = \sqrt{(-f_x)^2+(-f_y)^2+1^2} = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}.

Passo 6

Finalmente, pela fórmula de área de superfície parametrizada,
A(S) =\iint_{D}\bigl\|\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y\bigr\|\,dA =\iint_{D}\sqrt{1 + \bigl(f_x(x,y)\bigr)^2 + \bigl(f_y(x,y)\bigr)^2}\;dA.

Resposta

A(S)=\iint_{D}\sqrt{1+\bigl(\tfrac{\partial z}{\partial x}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{\partial z}{\partial y}\bigr)^{2}}\;dA.

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