Calcule o fluxo de F(x, y, z)=x i+2 y^{2} j+3 z^{2} k para fora do sólido E : x^{2}+y^{2} \leq 9 e 0 \leq z \leq 1. (Sugestão: Teorema da Divergência)

Passo 1

O enunciado dá:
  • O campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+2y^{2}\,\mathbf{j}+3z^{2}\,\mathbf{k}.
  • O sólido E é o cilindro reto com base no plano z=0, raio 3 e altura 1: \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le 9,\;0\le z\le 1\}.
    O que se pede:
  • Calcular o fluxo de \mathbf{F} para fora da superfície fechada \partial E que cerca E.

Passo 2

Aplicarei o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss), que diz o seguinte: para um campo vetorial suficientemente suave \mathbf{F} e um sólido E com superfície fechada \partial E orientada para fora,
\iint_{\partial E}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS \;=\; \iiint_{E}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
Aqui:
  • \mathbf{n} é a normal unitária à superfície apontando para fora,
  • \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}, definida por
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z},
onde F_{1},F_{2},F_{3} são as componentes de \mathbf{F}.
Explicação didática rápida: a divergência mede a “taxa de saída” local do campo. O teorema transforma o cálculo de fluxo pela superfície (às vezes trabalhoso) num integral de volume (muitas vezes mais simples).

Passo 3

Calcular a divergência de \mathbf{F}. As componentes são F_{1}(x,y,z)=x, F_{2}(x,y,z)=2y^{2}, F_{3}(x,y,z)=3z^{2}. Então:
\frac{\partial F_{1}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x)=1, \qquad \frac{\partial F_{2}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2y^{2})=4y, \qquad \frac{\partial F_{3}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(3z^{2})=6z.
Logo
\nabla\cdot\mathbf{F}=1+4y+6z.

Passo 4

Montar a integral de volume \iiint_{E}(1+4y+6z)\,dV. Como E é um cilindro circular, convém usar coordenadas cilíndricas:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dz\,dr\,d\theta,
com os limites 0\le r\le 3, 0\le\theta\le 2\pi, 0\le z\le 1.
Substituindo y=r\sin\theta e o jacobiano r, o integral fica
\iiint_{E}(1+4y+6z)\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\int_{0}^{1}\bigl(1+4(r\sin\theta)+6z\bigr)\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Avaliar o integral separando em três termos:
\iiint_{E}1\,dV + \iiint_{E}4y\,dV + \iiint_{E}6z\,dV.
  1. Termo constante:
\iiint_{E}1\,dV = \text{Vol}(E) = (\text{área da base})\times(\text{altura}) = \pi\cdot 3^{2}\cdot 1 = 9\pi.á
Ou mostrando via integrais:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\int_{0}^{1} 1\cdot r\,dz\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{3} r\,dr \int_{0}^{1} dz = (2\pi)\left(\frac{3^{2}}{2}\right)(1)=9\pi.
  1. Termo 4y:
\iiint_{E}4y\,dV = 4\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\int_{0}^{1} (r\sin\theta)\, r\,dz\,dr\,d\theta.
Note que a integração em z só multiplica por 1 (altura), então olhe a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0,
portanto toda a contribuição do termo 4y é 0 (simetria: a média de y sobre um círculo centrado na origem é zero).
  1. Termo 6z:
\iiint_{E}6z\,dV = 6\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\int_{0}^{1} z\, r\,dz\,dr\,d\theta.
Integrando em z:
\int_{0}^{1} z\,dz = \frac{1}{2}.
Integrando em r e \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{3} r\,dr = 2\pi\cdot\frac{3^{2}}{2}=9\pi.
Logo
\iiint_{E}6z\,dV = 6\cdot\left(\frac{1}{2}\right)\cdot 9\pi = 27\pi.

Passo 6

Somando as três contribuições:
\text{fluxo} = 9\pi + 0 + 27\pi = 36\pi.
Verificação rápida de plausibilidade: o termo 6z aumenta o fluxo positivo (z positivo), o termo 4y se cancela por simetria; resultado positivo faz sentido.

Resposta

\;36\pi

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