Calcule o fluxo de
para fora do sólido
:
e
. (Sugestão: Teorema da Divergência)
Passo 1
O enunciado dá:
- O campo vetorial
. - O sólido
é o cilindro reto com base no plano , raio e altura : .
O que se pede: - Calcular o fluxo de
para fora da superfície fechada que cerca .
Passo 2
Aplicarei o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss), que diz o seguinte: para um campo vetorial suficientemente suave
e um sólido
com superfície fechada
orientada para fora,
Aqui:
-
é a normal unitária à superfície apontando para fora, -
é a divergência de , definida por
onde
são as componentes de
.
Explicação didática rápida: a divergência mede a “taxa de saída” local do campo. O teorema transforma o cálculo de fluxo pela superfície (às vezes trabalhoso) num integral de volume (muitas vezes mais simples).
Passo 3
Calcular a divergência de
. As componentes são
,
,
. Então:
Logo
Passo 4
Montar a integral de volume
. Como
é um cilindro circular, convém usar coordenadas cilíndricas:
com os limites
,
,
.
Substituindo
e o jacobiano
, o integral fica
Passo 5
Avaliar o integral separando em três termos:
- Termo constante:
Ou mostrando via integrais:
- Termo
:
Note que a integração em
só multiplica por
(altura), então olhe a integral em
:
portanto toda a contribuição do termo
é
(simetria: a média de
sobre um círculo centrado na origem é zero).
- Termo
:
Integrando em
:
Integrando em
e
:
Logo
Passo 6
Somando as três contribuições:
Verificação rápida de plausibilidade: o termo
aumenta o fluxo positivo (z positivo), o termo
se cancela por simetria; resultado positivo faz sentido.