(1,8) Resolva \left(1+e^{x}\right) \frac{d y}{d x}+e^{x} y=0 deixando claro o método utilizado.

  1. “Sem suor e sem trabalho nenhuma obra é terminada”. (SCHREVELIUS, 1176)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(1+e^{x}\right)\frac{dy}{dx}+e^{x}y=0
e pede para resolvê‑la, isto é, encontrar a função y(x) que satisfaça essa relação (a solução geral). As informações relevantes são:
  • A equação envolve y e sua derivada dy/dx.
  • Não foi fornecida condição inicial; portanto vamos obter a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Colocar a equação numa forma que facilite a resolução. Dividindo ambos os lados por 1+e^{x} (que é sempre positivo, já que 1+e^{x}>0 para todo x), obtemos
\frac{dy}{dx} + \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,y = 0.
Aqui é útil reconhecer que esta equação pode ser tratada por separação de variáveis: se uma equação tem a forma
\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y),
então podemos escrever \dfrac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx e integrar. No nosso caso podemos reescrever a equação como
\frac{dy}{dx} = -\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,y,
ou seja
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = -\frac{e^{x}}{1+e^{x}}.
Multiplicando por dx e rearranjando, temos as variáveis separadas:
\frac{dy}{y} = -\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx.

Passo 3

Integrar ambos os lados. Do lado esquerdo, a antiderivada de 1/y é o logaritmo absoluto:
\int \frac{dy}{y} = \ln|y| + C_1.
Do lado direito, calcular
\int -\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx.
Fazer a substituição u=1+e^{x}. Então du=e^{x}\,dx. A integral fica
\int -\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx = -\int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C_2 = -\ln(1+e^{x}) + C_2,
onde se usou que u=1+e^{x}>0 então podemos tirar o valor absoluto.

Passo 4

Juntando os resultados das integrais (absorvendo constantes C_1,C_2 numa única constante C), obtemos
\ln|y| = -\ln(1+e^{x}) + C.
Usar propriedades dos logaritmos para combinar termos:
\ln\big(|y|(1+e^{x})\big) = C.
Aplicando exponenciais em ambos os lados,
|y|(1+e^{x}) = e^{C} = K,
onde K>0 é uma constante arbitrária positiva. Assim
|y| = \frac{K}{1+e^{x}}.
Removendo o valor absoluto e permitindo que a constante assuma sinal qualquer (ou seja, escrevendo C qualquer real, com C=0 dando a solução nula), obtemos a solução geral
y(x)=\frac{C}{1+e^{x}},
com C\in\mathbb{R}.

Passo 5

Breve comentário metodológico (opcional, para fixar): poderíamos também ter usado o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem. Na forma padrão
\frac{dy}{dx}+p(x)y=0
com p(x)=\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}, o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\big(\ln(1+e^{x})\big)=1+e^{x}.
Multiplicando a equação por \mu chega‑se a \dfrac{d}{dx}\big((1+e^{x})y\big)=0, que integra para (1+e^{x})y=C, levando à mesma solução y=\dfrac{C}{1+e^{x}}. Esses dois caminhos são equivalentes aqui; escolhi separação por ser direto e usar integrais elementares.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{C}{1+e^{x}},\\ C\in\mathbb{R}

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