Resolva
deixando claro o método utilizado.
- “Sem suor e sem trabalho nenhuma obra é terminada”. (SCHREVELIUS, 1176)
- “Sem suor e sem trabalho nenhuma obra é terminada”. (SCHREVELIUS, 1176)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolvê‑la, isto é, encontrar a função
que satisfaça essa relação (a solução geral). As informações relevantes são:
- A equação envolve
e sua derivada . - Não foi fornecida condição inicial; portanto vamos obter a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Colocar a equação numa forma que facilite a resolução. Dividindo ambos os lados por
(que é sempre positivo, já que
para todo
), obtemos
Aqui é útil reconhecer que esta equação pode ser tratada por separação de variáveis: se uma equação tem a forma
então podemos escrever
e integrar. No nosso caso podemos reescrever a equação como
ou seja
Multiplicando por
e rearranjando, temos as variáveis separadas:
Passo 3
Integrar ambos os lados. Do lado esquerdo, a antiderivada de
é o logaritmo absoluto:
Do lado direito, calcular
Fazer a substituição
. Então
. A integral fica
onde se usou que
então podemos tirar o valor absoluto.
Passo 4
Juntando os resultados das integrais (absorvendo constantes
numa única constante
), obtemos
Usar propriedades dos logaritmos para combinar termos:
Aplicando exponenciais em ambos os lados,
onde
é uma constante arbitrária positiva. Assim
Removendo o valor absoluto e permitindo que a constante assuma sinal qualquer (ou seja, escrevendo
qualquer real, com
dando a solução nula), obtemos a solução geral
com
.
Passo 5
Breve comentário metodológico (opcional, para fixar): poderíamos também ter usado o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem. Na forma padrão
com
, o fator integrante é
Multiplicando a equação por
chega‑se a
, que integra para
, levando à mesma solução
. Esses dois caminhos são equivalentes aqui; escolhi separação por ser direto e usar integrais elementares.