Considere a equação (1-\cos (x)) \frac{d y}{d x}+\operatorname{sen}(x) y=0, \mathrm{e} :
(a) (2,0) Resolva como uma EDO Exata.
(b) (0,8) É possível resolver como uma EDO de Variável Separável? Se sim, explique como deixando a equação com as variáveis separadas, se não, justifique o motivo.
(c) (0,8) É possível resolver como uma EDO Linear de Primeira Ordem? Se sim, explique como deixando a equação na forma padrão, se não, justifique o motivo.
(d) (0,8) É possível resolver a EDO dada como uma EDO homogênea? Ou seja, para algum n \in \mathbb{R}, as funções que compõem a EDO satisfazem a f(t x, t y)=t^{n} f(x, y) ? Justifique.
(e) (0,8) Se ao invés da equação dada tivéssemos (1+\cos (x)) \frac{d y}{d x}+\operatorname{sen}(x) y=0, ainda seria uma EDO exata? Caso contrário, calcule o fator integrante que torna a EDO exata.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(1-\cos(x))\frac{dy}{dx}+\sin(x)\,y=0
e pede cinco itens:
(a) Resolver como EDO exata (peso 2).
(b) Dizer se é possível resolver por variável separável; se sim, mostrar a equação com variáveis separadas (peso 0,8).
(c) Dizer se é possível resolver como EDO linear de 1ª ordem; se sim, colocar na forma padrão (peso 0,8).
(d) Dizer se a EDO é homogênea no sentido de existirem n\in\mathbb{R} com f(tx,ty)=t^n f(x,y) para as funções que compõem a EDO; justificar (peso 0,8).
(e) Se trocarmos 1-\cos(x) por 1+\cos(x), a EDO continua exata? Se não, calcular um fator integrante que a torne exata (peso 0,8).
Informações úteis a observar desde já:
  • Pontos em que 1-\cos(x)=0 ocorrem quando \cos(x)=1, isto é x=2k\pi. Nesses pontos a escrita \frac{dy}{dx}=\cdots com divisão por 1-\cos x fica problemática; devemos lembrar dessas singularidades nas soluções explícitas.
  • A equação pode ser escrita em forma diferencial exata como M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. Vou usar isso no item (a).

Passo 2

Resolver como EDO exata (a) — checar e resolver passo a passo.
  1. Colocar em forma M\,dx+N\,dy=0. Multiplicando por dx e reordenando:
\sin(x)\,y\,dx+(1-\cos(x))\,dy=0.
Logo tomamos
M(x,y)=\sin(x)\,y,\qquad N(x,y)=1-\cos(x).
  1. Definição/prática de exatidão (mini-aula): uma equação M\,dx+N\,dy=0 é exata se existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que \partial\Psi/\partial x=M e \partial\Psi/\partial y=N. Uma checagem prática é verificar se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x em uma região do plano.
  2. Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\sin(x),\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\sin(x).
Como são iguais, a equação é exata (em qualquer região onde as funções são lisas, isto é, exceto em pontos singulares como x=2k\pi se necessário tratar separadamente).
  1. Encontrar a função potencial \Psi(x,y). Integramos M em relação a x:
\Psi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int \sin(x)\,y\,dx = y\int \sin(x)\,dx = -y\cos(x)+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.
  1. Impor que \partial\Psi/\partial y=N. Calculando:
\frac{\partial\Psi}{\partial y}=-\cos(x)+h'(y)\stackrel{!}{=}1-\cos(x).
Daí h'(y)=1, logo h(y)=y+C.
  1. Assim
\Psi(x,y)=-y\cos(x)+y + C.
A solução implícita é \Psi(x,y)=\text{const}, ou seja
-y\cos(x)+y = C,
que se pode escrever como
y\bigl(1-\cos(x)\bigr)=C.
Essa é a solução geral (inclui a solução nula y\equiv 0 quando C=0). Em regiões onde 1-\cos(x)\neq 0 podemos isolar:
y=\frac{C}{1-\cos(x)}.

Passo 3

Variáveis separáveis (b) — verificar e mostrar separação.
  1. Reescrever a equação isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=-\frac{\sin(x)}{1-\cos(x)}\,y.
  1. Isso é da forma \dfrac{dy}{dx}=g(x)\,y, portanto é separável: podemos dividir por y (quando y\neq0) e multiplicar por dx:
\frac{dy}{y} = -\frac{\sin(x)}{1-\cos(x)}\,dx.
Isto é exatamente a separação de variáveis: o lado esquerdo depende só de y e o lado direito só de x.
  1. Integrar ambos os lados. Para a integral do lado direito, use a substituição u=1-\cos(x)\Rightarrow du=\sin(x)\,dx. Então
\int -\frac{\sin(x)}{1-\cos(x)}\,dx = -\int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C = -\ln|1-\cos(x)|+C.
No lado esquerdo \int \frac{dy}{y}=\ln|y|+C.
  1. Combinando:
\ln|y| = -\ln|1-\cos(x)| + C \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl(|y|(1-\cos(x))\bigr)=C.
Exponenciando:
y\bigl(1-\cos(x)\bigr)=C',
que é a mesma solução encontrada no item (a). Conclusão: sim, é separável e a separação leva diretamente à solução acima. Lembrar de tratar os pontos 1-\cos(x)=0 e a solução y\equiv0.

Passo 4

Equação linear de 1ª ordem (c) — verificar e resolver por fator integrante.
  1. Forma padrão de uma linear de 1ª ordem é \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x). Dividindo a equação original por 1-\cos(x) (quando possível) obtemos
\frac{dy}{dx}+\frac{\sin(x)}{1-\cos(x)}\,y=0.
Logo é uma EDO linear com
P(x)=\frac{\sin(x)}{1-\cos(x)},\qquad Q(x)=0.
  1. Mini-aula sobre fator integrante: para \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x), o fator integrante é \mu(x)=\exp\!\bigl(\int P(x)\,dx\bigr). Multiplicando a EDO por \mu obtemos (\mu y)'=\mu Q, que facilita a integração.
  2. Calcular \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)}\,dx\right).
Usar u=1-\cos(x)\Rightarrow du=\sin(x)\,dx \int \frac{\sin x}{1-\cos x}\,dx=\int \frac{du}{u}=\ln|1-\cos x|. Assim
\mu(x)=\exp\!\bigl(\ln|1-\cos x|\bigr)=|1-\cos x|.
Como fator integrante podemos tomar \mu(x)=1-\cos x (constante multiplicativa irrelevante).
  1. Multiplicando a equação original por \mu obtemos:
(1-\cos x)\frac{dy}{dx}+\sin x\,y = \bigl((1-\cos x)y\bigr)'=0.
Integrando: (1-\cos x)y=C. Novamente a mesma solução.
Conclusão: sim, é uma EDO linear de 1ª ordem; a forma padrão é \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{\sin x}{1-\cos x}y=0 e o fator integrante é \mu(x)=1-\cos x.

Passo 5

Homogeneidade (d) — verificar se as funções que compõem a EDO satisfazem f(tx,ty)=t^n f(x,y) para algum n.
  1. Interpretação: para testar homogeneidade no sentido pedido, considere as funções M(x,y)=\sin(x)\,y e N(x,y)=1-\cos(x) que aparecem em M\,dx+N\,dy=0. Se existisse n tal que M(tx,ty)=t^n M(x,y) e N(tx,ty)=t^n N(x,y) para todo t, então diríamos que as funções são homogêneas de grau n.
  2. Teste rápido em M:
M(tx,ty)=\sin(tx)\,(ty)=t\,y\,\sin(tx).
Para isto ser igual a t^n M(x,y)=t^n y\sin(x) para todo t,x precisaríamos de \sin(tx)=t^{\,n-1}\sin(x) para todo t e x. Isso é impossível (por exemplo, escolhendo x tal que \sin(x)\neq0 e variando t não há essa proporcionalidade simples).
  1. Além disso N(tx,ty)=1-\cos(tx) não tem fator t^n simples em relação a 1-\cos x. Funções trigonométricas não obedecem à homogeneidade polinomial em (x,y).
Conclusão: não, a EDO não é homogênea no sentido dado; não existe n\in\mathbb{R} que faça f(tx,ty)=t^n f(x,y) para as funções que compõem a equação.

Passo 6

Caso modificado (1+\cos x)\dfrac{dy}{dx}+\sin x\,y=0 — verificar exatidão e, se não exata, achar fator integrante (e mostrar).
  1. Escrevendo em forma diferencial:
\sin(x)\,y\,dx+(1+\cos(x))\,dy=0,
portanto M(x,y)=\sin(x)\,y e N(x,y)=1+\cos(x).
  1. Calcular derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\sin(x),\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=-\sin(x).
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x (são sinais opostos), a equação NÃO é exata.
  1. Procurar um fator integrante que dependa só de x. Uma forma prática: se
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
depende apenas de x, então existe um fator integrante \mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}\,dx\right).
  1. Calcular o quociente:
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=\sin(x)-(-\sin(x))=2\sin(x).
Logo
\frac{2\sin(x)}{1+\cos(x)}=2\cdot\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}.
Isto depende somente de x, portanto existe um fator integrante que é função apenas de x.
  1. Calcular o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int 2\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}\,dx\right).
Usar a substituição u=1+\cos(x)\Rightarrow du=-\sin(x)\,dx ou a identidade \dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\tan\!\dfrac{x}{2}. Usando a primeira:
\int 2\frac{\sin x}{1+\cos x}\,dx = -2\int\frac{du}{u} = -2\ln|u|+C = -2\ln|1+\cos x| + C.
Assim
\mu(x)=\exp\!\bigl(-2\ln|1+\cos x|\bigr)=\frac{1}{(1+\cos x)^2},
até um fator multiplicativo constante (que é irrelevante para fator integrante).
Observação alternativa: usando identidades de meia-ângulo 1+\cos x=2\cos^2(x/2) obtém-se \mu(x)=\dfrac{1}{(1+\cos x)^2}=\dfrac{1}{4\cos^4(x/2)} até constante; ambas são equivalentes como fator integrante (constante multiplicativa irrelevante).
  1. Verificação rápida: multiplicando a equação por \mu(x)=\dfrac{1}{(1+\cos x)^2} torna M e N em
\tilde M=\frac{\sin(x)\,y}{(1+\cos x)^2},\qquad \tilde N=\frac{1+\cos x}{(1+\cos x)^2}=\frac{1}{1+\cos x},
e aí \partial\tilde M/\partial y=\dfrac{\sin x}{(1+\cos x)^2} e \partial\tilde N/\partial x dá o mesmo (pode ser verificado), tornando a equação exata.
Conclusão: não é exata inicialmente; um fator integrante apropriado é \displaystyle \mu(x)=\frac{1}{(1+\cos x)^2} (ou qualquer múltiplo constante desta).

Resposta

(a) \;y\bigl(1-\cos(x)\bigr)=C, ou equivalentemente \;y=\dfrac{C}{1-\cos(x)} (constante C\in\mathbb{R}).
(b) Sim. Separando: \dfrac{dy}{y}=-\dfrac{\sin(x)}{1-\cos(x)}\,dx, integrando obtém-se \;y(1-\cos x)=C.
(c) Sim. Forma padrão \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{\sin x}{1-\cos x}\,y=0. Fator integrante \mu(x)=1-\cos x. Solução (1-\cos x)y=C.
(d) Não. As funções envolvidas (por exemplo M(x,y)=\sin x\;y e N(x,y)=1-\cos x) não satisfazem f(tx,ty)=t^n f(x,y) para algum n (as funções trigonométricas impedem a homogeneidade polinomial requerida).
(e) Não, com 1+\cos x a equação não é exata. Um fator integrante que a torna exata é \displaystyle \mu(x)=\frac{1}{(1+\cos x)^2} (qualquer múltiplo constante desta também serve).

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