Considere a equação
:
(a)
Resolva como uma EDO Exata.
(b)
É possível resolver como uma EDO de Variável Separável? Se sim, explique como deixando a equação com as variáveis separadas, se não, justifique o motivo.
(c)
É possível resolver como uma EDO Linear de Primeira Ordem? Se sim, explique como deixando a equação na forma padrão, se não, justifique o motivo.
(d)
É possível resolver a EDO dada como uma EDO homogênea? Ou seja, para algum
, as funções que compõem a EDO satisfazem a
? Justifique.
(e)
Se ao invés da equação dada tivéssemos
, ainda seria uma EDO exata? Caso contrário, calcule o fator integrante que torna a EDO exata.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede cinco itens:
(a) Resolver como EDO exata (peso 2).
(b) Dizer se é possível resolver por variável separável; se sim, mostrar a equação com variáveis separadas (peso 0,8).
(c) Dizer se é possível resolver como EDO linear de 1ª ordem; se sim, colocar na forma padrão (peso 0,8).
(d) Dizer se a EDO é homogênea no sentido de existirem
com
para as funções que compõem a EDO; justificar (peso 0,8).
(e) Se trocarmos
por
, a EDO continua exata? Se não, calcular um fator integrante que a torne exata (peso 0,8).
Informações úteis a observar desde já:
- Pontos em que
ocorrem quando , isto é . Nesses pontos a escrita com divisão por fica problemática; devemos lembrar dessas singularidades nas soluções explícitas. - A equação pode ser escrita em forma diferencial exata como
. Vou usar isso no item (a).
Passo 2
Resolver como EDO exata (a) — checar e resolver passo a passo.
- Colocar em forma
. Multiplicando por e reordenando:
Logo tomamos
-
Definição/prática de exatidão (mini-aula): uma equação
é exata se existe uma função potencial tal que e . Uma checagem prática é verificar se em uma região do plano. -
Calcular as derivadas parciais:
Como são iguais, a equação é exata (em qualquer região onde as funções são lisas, isto é, exceto em pontos singulares como
se necessário tratar separadamente).
- Encontrar a função potencial
. Integramos em relação a :
onde
é uma função arbitrária de
.
- Impor que
. Calculando:
Daí
, logo
.
- Assim
A solução implícita é
, ou seja
que se pode escrever como
Essa é a solução geral (inclui a solução nula
quando
). Em regiões onde
podemos isolar:
Passo 3
Variáveis separáveis (b) — verificar e mostrar separação.
- Reescrever a equação isolando
:
- Isso é da forma
, portanto é separável: podemos dividir por (quando ) e multiplicar por :
Isto é exatamente a separação de variáveis: o lado esquerdo depende só de
e o lado direito só de
.
- Integrar ambos os lados. Para a integral do lado direito, use a substituição
. Então
No lado esquerdo
.
- Combinando:
Exponenciando:
que é a mesma solução encontrada no item (a). Conclusão: sim, é separável e a separação leva diretamente à solução acima. Lembrar de tratar os pontos
e a solução
.
Passo 4
Equação linear de 1ª ordem (c) — verificar e resolver por fator integrante.
- Forma padrão de uma linear de 1ª ordem é
. Dividindo a equação original por (quando possível) obtemos
Logo é uma EDO linear com
-
Mini-aula sobre fator integrante: para
, o fator integrante é . Multiplicando a EDO por obtemos , que facilita a integração. -
Calcular
:
Usar
dá
. Assim
Como fator integrante podemos tomar
(constante multiplicativa irrelevante).
- Multiplicando a equação original por
obtemos:
Integrando:
. Novamente a mesma solução.
Conclusão: sim, é uma EDO linear de 1ª ordem; a forma padrão é
e o fator integrante é
.
Passo 5
Homogeneidade (d) — verificar se as funções que compõem a EDO satisfazem
para algum
.
-
Interpretação: para testar homogeneidade no sentido pedido, considere as funções
e que aparecem em . Se existisse tal que e para todo , então diríamos que as funções são homogêneas de grau . -
Teste rápido em
:
Para isto ser igual a
para todo
precisaríamos de
para todo
e
. Isso é impossível (por exemplo, escolhendo
tal que
e variando
não há essa proporcionalidade simples).
- Além disso
não tem fator simples em relação a . Funções trigonométricas não obedecem à homogeneidade polinomial em .
Conclusão: não, a EDO não é homogênea no sentido dado; não existe
que faça
para as funções que compõem a equação.
Passo 6
Caso modificado
— verificar exatidão e, se não exata, achar fator integrante (e mostrar).
- Escrevendo em forma diferencial:
portanto
e
.
- Calcular derivadas parciais:
Como
(são sinais opostos), a equação NÃO é exata.
- Procurar um fator integrante que dependa só de
. Uma forma prática: se
depende apenas de
, então existe um fator integrante
.
- Calcular o quociente:
Logo
Isto depende somente de
, portanto existe um fator integrante que é função apenas de
.
- Calcular o fator integrante:
Usar a substituição
ou a identidade
. Usando a primeira:
Assim
até um fator multiplicativo constante (que é irrelevante para fator integrante).
Observação alternativa: usando identidades de meia-ângulo
obtém-se
até constante; ambas são equivalentes como fator integrante (constante multiplicativa irrelevante).
- Verificação rápida: multiplicando a equação por
torna e em
e aí
e
dá o mesmo (pode ser verificado), tornando a equação exata.
Conclusão: não é exata inicialmente; um fator integrante apropriado é
(ou qualquer múltiplo constante desta).
Resposta
(a)
, ou equivalentemente
(constante
).
(b) Sim. Separando:
, integrando obtém-se
.
(c) Sim. Forma padrão
. Fator integrante
. Solução
.
(d) Não. As funções envolvidas (por exemplo
e
) não satisfazem
para algum
(as funções trigonométricas impedem a homogeneidade polinomial requerida).
(e) Não, com
a equação não é exata. Um fator integrante que a torna exata é
(qualquer múltiplo constante desta também serve).