Calcule o fluxo para fora através de
do campo vetorial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo para fora através de $ S $ do campo vetorial $ \vec{F} = y \hat{\mathbf{i}} - x \hat{\mathbf{j}} + z \hat{\mathbf{k}} $. O conteúdo que vamos usar aqui é o de Cálculo de Fluxo, que faz parte do estudo de campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, como calcular a divergência de um campo vetorial e possivelmente aplicar o teorema da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial $ \vec{F} $ através de uma superfície $ S $ mede a quantidade de “fluxo” que passa por essa superfície. Matemáticamente, é representado por:
onde $ \vec{n} $ é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Agora, para facilitar nossos cálculos, vamos usar o teorema da divergência (ou teorema de Gauss), que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume limitado por essa superfície. O teorema diz que:
Isso significa que, em vez de calcular uma integral de superfície, podemos calcular uma integral de volume, o que é mais simples se a divergência for fácil de encontrar.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de $ \vec{F} $. A divergência é dada por:
Onde $ F_x, F_y, F_z $ são as componentes de $ \vec{F} $.
Passo 5
No nosso caso, $ \vec{F} = y \hat{\mathbf{i}} - x \hat{\mathbf{j}} + z \hat{\mathbf{k}} $. Então:
Passo 6
Somando as derivadas, temos:
Passo 7
Agora, aplicando o teorema da divergência:
Portanto, o fluxo é igual ao volume do espaço delimitado por $ S $.
Passo 8
Como o enunciado não especificou a forma da superfície $ S $, vamos supor que $ S $ seja uma esfera de raio $ R $. O volume de uma esfera é:
Passo 9
Portanto, o fluxo para fora através de $ S $ é:
Resposta
O fluxo para fora através de $ S $ é $ \frac{4}{3} \pi R^3 $.