Resolva os problemas e faça um esboço do gráfico da solução.
y^prime prime+4 y=de;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO forçada y''+4y=de
usando a teoria de equações lineares com impulso (delta de Dirac) e depois esboçar o gráfico da solução. Vamos precisar do método de solução homogênea por séries de funções trigonométricas e da condição de salto em y’ imposta pelo delta.

Passo 2

Para 0≤t<4π, não há forçamento e a equação vira y’’+4y=0. A solução geral é
yh(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)
Aplico as condições iniciais y(0)=A=1/2 e y’(0)=2B=0⇒B=0, logo
y(t)=tfrac12cos(2t), 0≤t<4π

Passo 3

No instante t=4π o delta impõe um salto em y’. Integro a EDO de (4π−ε) até (4π+ε):
y'l(4pi^+r)-y'l(4pi^-r)=1
Calculamos y’(4π^−)=−2(\tfrac12)\sin(8π)=0, então y’(4π^+)=1. A continuidade de y dá y(4π+)=y(4π−)=\tfrac12.

Passo 4

Para t≥4π temos de novo a homogênea y’’+4y=0, com condições iniciais em t_0=4π: y(4π)=1/2 e y’(4π)=1. Escrevo
y(t)=Ccos(2t)+Dsin(2t)
Em t=4π: C=1/2. Derivando y’=-2C\sin(2t)+2D\cos(2t), em t=4π dá 2D=1⇒D=1/2. Logo
y(t)=tfrac12cos(2t)+tfrac12sin(2t), t≥4π

Passo 5

Agora temos a solução completa e podemos esboçar o gráfico. Para 0≤t<4π é um cosseno de amplitude 1/2 e período π, começando em y=1/2. Em t=4π ocorre um chute que aumenta a derivada (soma 1) e a partir daí a amplitude passa a ser raiz(1/2)^2+(1/2)^2=1/raiz2. Mantém-se o período π, mas há descontinuidade na inclinação em t=4π.

Passo 6

O esboço mostra: até t=4π oscilações de amplitude 0.5, e a partir de t=4π oscilações de amplitude ~0.707 com salto na inclinação no instante do impulso.

Resposta

A solução é dada por
y(t)= tfrac12cos(2t),&0<= t<4pi, tfrac12cos(2t)+tfrac12sin(2t),&t>=4pi
O gráfico é uma oscilação harmônica de amplitude 0.5 e período π até t=4π, e após o impulso em t=4π a onda continua com o mesmo período π, mas amplitude aumentada para 1/√2, apresentando descontinuidade na derivada no ponto t=4π.

Exercícios relacionados