1^a Questão: (1,0 ponto) Calcule lim n^3 sin n!n^5+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de n^3 sin n!n^5+1 quando n tende ao infinito. Aqui, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas, especialmente sabendo que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. No numerador temos n^3 sin n!. Sabemos que o seno de qualquer número, independente do ângulo, sempre fica entre -1 e 1. Então, sin n! está sempre entre -1 e 1.

Passo 3

Isso significa que o valor absoluto de n^3 sin n! é no máximo n^3. Então podemos escrever:
|n^3 sin n!| <= n^3
Isso nos ajuda a entender que, apesar de n! crescer muito, o seno não faz o valor explodir porque ele está sempre limitado.

Passo 4

Agora, olhamos para o denominador, que é n^5 + 1. Quando n cresce, n^5 domina o termo +1, então podemos simplificar e dizer que o denominador cresce aproximadamente como n^5.

Passo 5

Agora, vamos colocar tudo junto no limite:
limn to infty n^3 sin n!n^5+1
Como já vimos que |n^3 sin n!| <= n^3 e o denominador cresce como n^5, podemos simplificar a fração principal para algo que sabemos o comportamento.

Passo 6

Vamos considerar o limite:
limn to infty n^3n^5 = limn to infty 1n^2 = 0
Isso significa que, à medida que n cresce, a fração n^3n^5 vai se aproximando de 0.

Passo 7

Como |sin n!| <= 1, multiplicamos por n^3 e dividimos por n^5, já vimos que o limite vai para 0. Portanto, o limite original também tende para 0.

Resposta

O limite limn to infty n^3 sin n!n^5+1 é igual a 0.

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