Questão: (1,0 ponto) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Aqui, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas, especialmente sabendo que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. No numerador temos
. Sabemos que o seno de qualquer número, independente do ângulo, sempre fica entre -1 e 1. Então,
está sempre entre -1 e 1.
Passo 3
Isso significa que o valor absoluto de
é no máximo
. Então podemos escrever:
Isso nos ajuda a entender que, apesar de
crescer muito, o seno não faz o valor explodir porque ele está sempre limitado.
Passo 4
Agora, olhamos para o denominador, que é
. Quando
cresce,
domina o termo +1, então podemos simplificar e dizer que o denominador cresce aproximadamente como
.
Passo 5
Agora, vamos colocar tudo junto no limite:
Como já vimos que
e o denominador cresce como
, podemos simplificar a fração principal para algo que sabemos o comportamento.
Passo 6
Vamos considerar o limite:
Isso significa que, à medida que
cresce, a fração
vai se aproximando de 0.
Passo 7
Como
, multiplicamos por
e dividimos por
, já vimos que o limite vai para 0. Portanto, o limite original também tende para 0.
Resposta
O limite
é igual a 0.