Calcule o fluxo para fora de
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de saída (fluxo para fora) do campo
através de uma superfície fechada que envolva a origem. O conteúdo envolve o Teorema da Divergência (ou Lei de Gauss) e, alternativamente, o cálculo direto numa esfera centrada na origem.
Passo 2
Calculamos a divergência de
para
. Em coordenadas cartesianas:
Cada termo dá
e de forma análoga para
e
. Somando-se esses três termos obtém-se zero, ou seja
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de
através de qualquer superfície fechada
que não envolva a origem seria zero. Como o único ponto onde
não está definido é a origem, todo o fluxo se deve ao “singular” na origem.
Passo 4
Para determinar esse fluxo, escolhemos
como a esfera de raio
centrada na origem. Na parametrização esférica:
temos
e o vetor normal externo
de módulo unitário aponta radialmente. Então
e o elemento de área é
Logo o fluxo é
Resposta
O fluxo para fora de
através de qualquer superfície fechada que envolva a origem é
.