Calcule o fluxo para fora de
\mathbf{F}(x, y, z)=\frac{x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de saída (fluxo para fora) do campo
\mathbf{F}(x,y,z)=\frac{x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}}{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}
através de uma superfície fechada que envolva a origem. O conteúdo envolve o Teorema da Divergência (ou Lei de Gauss) e, alternativamente, o cálculo direto numa esfera centrada na origem.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F} para (x,y,z)\neq(0,0,0). Em coordenadas cartesianas:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{r^{3}}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{r^{3}}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{z}{r^{3}}\Bigr), \quad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Cada termo dá
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{r^{3}}\Bigr) =\frac{r^{3}-3x^{2}r}{r^{6}} =\frac{r^{2}-3x^{2}}{r^{5}},
e de forma análoga para y e z. Somando-se esses três termos obtém-se zero, ou seja
\nabla\cdot\mathbf{F}=0 \quad\text{em}\;\mathbb{R}^3\setminus\{0\}.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de \mathbf{F} através de qualquer superfície fechada S que não envolva a origem seria zero. Como o único ponto onde \nabla\cdot\mathbf{F} não está definido é a origem, todo o fluxo se deve ao “singular” na origem.

Passo 4

Para determinar esse fluxo, escolhemos S como a esfera de raio R>0 centrada na origem. Na parametrização esférica:
x=R\sin\varphi\cos\theta,\quad y=R\sin\varphi\sin\theta,\quad z=R\cos\varphi,
temos r=R e o vetor normal externo \mathbf{n} de módulo unitário aponta radialmente. Então
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} =\frac{R}{R^{3}}=R^{-2},
e o elemento de área é
dS=R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Logo o fluxo é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}R^{-2}\,R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi =2\pi\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi} =4\pi.

Resposta

O fluxo para fora de \mathbf{F} através de qualquer superfície fechada que envolva a origem é 4\pi.

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