(PF-2013-1) Uma esfera rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal plana com velocidade v_{C M} no sentido positivo do eixo horizontal O X. Num dado instante aplica-se no seu centro de massa uma força horizontal constante de módulo F e sentido contrário ao eixo O X. A distância d percorrida pela esfera até que a sua velocidade angular se anule será igual a: (o momento de inércia de uma esfera em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa é igual a \left(I=2 M R^{2} / 5\right)
(a) \frac{7}{10} \frac{M v_{C M}^{2}}{F};
(b) \frac{5}{10} \frac{M v_{C M}^{2}}{F};
(c) \frac{2}{5} \frac{M v_{C M}^{2}}{F};
(d) \frac{5}{7} \frac{M v_{C M}^{2}}{F};
(e) \frac{2}{7} \frac{M v_{C M}^{2}}{F}.

Passo 1

O enunciado diz que uma esfera de massa M e raio R rola sem deslizar com velocidade inicial \,v_{CM} sobre um plano horizontal. Num dado instante aplicamos uma força horizontal constante de módulo F e sentido contrário ao movimento, e queremos a distância d percorrida até que a velocidade angular se anule. Para resolver vamos usar:
  1. Equação de translação: segunda lei de Newton para o centro de massa.
  2. Equação de rotação: segunda lei de Newton para torques em torno do centro de massa.
  3. Condição de não deslizamento: a_{CM}=\alpha\,R.
  4. Momento de inércia da esfera:
I=\frac{2}{5}\,M R^{2}.

Passo 2

Escrevendo as equações de movimento, seja f a força de atrito estático no contato (positiva no sentido +x):
-F + f = M\,a_{CM},
-\,f\,R = I\,\alpha.
Aqui -F é a força externa para a esquerda, f é o atrito para a direita; o torque do atrito tende a frear a rotação.

Passo 3

Impondo a condição de não deslizamento,
a_{CM} = \alpha\,R.
Como \alpha = -\,\dfrac{f\,R}{I}, temos
a_{CM} = -\,\frac{f\,R^{2}}{I}.
Igualando com a translação,
\frac{-F + f}{M}=-\frac{f\,R^{2}}{I} \;\;\Longrightarrow\;\; f\Bigl(1+\frac{M R^{2}}{I}\Bigr)=F.
Substituindo I=\tfrac{2}{5}MR^{2} M R^{2}/I=5/2, logo
f=\frac{F}{1+5/2}=\frac{2}{7}\,F.

Passo 4

Com f em mãos, a aceleração do centro de massa fica
a_{CM}=\frac{-F+f}{M} =-\frac{F - \tfrac{2}{7}F}{M} =-\frac{5}{7}\,\frac{F}{M}.
E a aceleração angular é
\alpha=-\frac{f\,R}{I} =-\frac{\tfrac{2}{7}F\,R}{\tfrac{2}{5}M R^{2}} =-\frac{5}{7}\,\frac{F}{M\,R}.

Passo 5

O giro zera quando \omega(t)=0. Como \omega_{0}=v_{CM}/R e \alpha<0 constante,
t=\frac{\omega_{0}}{|\alpha|} =\frac{\tfrac{v_{CM}}{R}}{\tfrac{5}{7}\,\tfrac{F}{M\,R}} =\frac{7\,M\,v_{CM}}{5\,F}.

Passo 6

Usamos o movimento retilíneo uniformemente variado para achar d:
d=v_{CM}\,t+\tfrac{1}{2}\,a_{CM}\,t^{2}.
Substituindo t e a_{CM}:
d =\frac{7\,M\,v_{CM}^{2}}{5\,F} -\frac{1}{2}\,\frac{5}{7}\,\frac{F}{M}\,\Bigl(\frac{7\,M\,v_{CM}}{5\,F}\Bigr)^{2} =\frac{7}{10}\,\frac{M\,v_{CM}^{2}}{F}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{7}{10}\,\frac{M\,v_{CM}^{2}}{F}

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