(PF-2013-1) Uma esfera rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal plana com velocidade
no sentido positivo do eixo horizontal
. Num dado instante aplica-se no seu centro de massa uma força horizontal constante de módulo
e sentido contrário ao eixo
. A distância
percorrida pela esfera até que a sua velocidade angular se anule será igual a: (o momento de inércia de uma esfera em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa é igual a
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(d)
;
(e)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado diz que uma esfera de massa
e raio
rola sem deslizar com velocidade inicial
sobre um plano horizontal. Num dado instante aplicamos uma força horizontal constante de módulo
e sentido contrário ao movimento, e queremos a distância
percorrida até que a velocidade angular se anule. Para resolver vamos usar:
- Equação de translação: segunda lei de Newton para o centro de massa.
- Equação de rotação: segunda lei de Newton para torques em torno do centro de massa.
- Condição de não deslizamento:
. - Momento de inércia da esfera:
Passo 2
Escrevendo as equações de movimento, seja
a força de atrito estático no contato (positiva no sentido
):
Aqui
é a força externa para a esquerda,
é o atrito para a direita; o torque do atrito tende a frear a rotação.
Passo 3
Impondo a condição de não deslizamento,
Como
, temos
Igualando com a translação,
Substituindo
dá
, logo
Passo 4
Com
em mãos, a aceleração do centro de massa fica
E a aceleração angular é
Passo 5
O giro zera quando
. Como
e
constante,
Passo 6
Usamos o movimento retilíneo uniformemente variado para achar
:
Substituindo
e
:
Resposta
(a)