Um cilindro de raio R e massa M é puxado pelo centro por uma força F e rola sem deslizar.
(a) Determine a aceleração do CM e a força de atrito.
(b) Repita para o caso em que a força seja aplicada na extremidade. Para onde aponta a força de atrito?
(c) Repita os dois para um tambor (casca cilídrica).

Passo 1

O enunciado trata de um corpo cilíndrico de raio R e massa M que rola sem deslizar sob a ação de uma força horizontal F. Vamos usar:
  1. Equação de Newton para a translação do centro de massa, \sum F = M a.
  2. Equação de Newton para rotação em torno do centro de massa, \sum \tau = I\,\alpha.
  3. Condição de rolamento sem deslizamento, a = \alpha\,R.
  4. Momentos de inércia: para cilindro maciço I = \tfrac12 M R^2, para casca cilíndrica (tambor) I = M R^2.

Passo 2

(a) Cilindro maciço, força aplicada no centro:
– Translação: a única força horizontal além de F é a força de atrito f, então
F + f = M a.
– Rotação: o único torque vem de f em contato, de módulo fR, gerando \alpha = a/R. Assim,
f\,R = I\,\frac{a}{R} = \tfrac12 M R^2\;\frac{a}{R} \implies f = \tfrac12 M a.
Substituindo em F + f = M a:
F + \tfrac12 M a = M a \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{2F}{M}, \quad f = \tfrac12 M a = F.
Como f>0, o atrito aponta para a frente (mesma direção de F).

Passo 3

(b) Cilindro maciço, força aplicada na extremidade (raio):
– Translação: F + f = M a\). – Rotação: agora \(F\) produz torque de mesmo sinal que \(f\), total \(F R - f R\) no sentido que gera \(\alpha = a/R\). Logo, \[F R - f R = I\,\frac{a}{R} = \tfrac12 M R^2\,\frac{a}{R} \;\Longrightarrow\; F - f = \tfrac12 M\,\frac{a}{R^2}\,R^2 = \tfrac12 M a.
Dois equações:
\begin{cases} F + f = M a,\\\ F - f = \tfrac12 M a. \end{cases}
Somando, 2F = \tfrac32 M a\], então \[a = \frac{4F}{3M}, \quad f = M a - F = \frac{4F}{3} - F = \frac{F}{3}.\] Como \(f>0, o atrito também aponta para frente.

Passo 4

(c _1) Tambor (casca cilíndrica), força no centro:
– Translação: F + f = M a.
– Rotação: a força no centro não dá torque, então o torque vem só de f, mas para gerar \alpha=a/R ele deve ser contrário ao movimento de rolamento, logo
-\,f\,R = I\,\frac{a}{R} = M R^2\,\frac{a}{R} \;\Longrightarrow\; f = -\,M a.
Substituindo em F + f = M a:
F - M a = M a \;\Longrightarrow\; a = \frac{F}{2M}, \quad f = -\,M\frac{F}{2M} = -\frac{F}{2}.
Aqui f<0, logo o atrito aponta para trás.

Passo 5

(c _2) Tambor, força na extremidade:
– Translação: F + f = M a.
– Rotação: torque total F R - f R = I\,\frac{a}{R} = M R^2\,\frac{a}{R}.
Assim
F - f = M a.
Somando com F + f = M a 2F = 2M a, logo
a = \frac{F}{M}, \quad f = M a - F = 0.
O atrito nessa configuração é nulo.

Resposta

(a) Cilindro maciço, força no centro:
a = \frac{2F}{M}, \quad f = F\\ (\text{para frente}).
(b) Cilindro maciço, força na extremidade:
a = \frac{4F}{3M}, \quad f = \frac{F}{3}\\ (\text{para frente}).
(c) Tambor:
– Força no centro:
a = \frac{F}{2M}, \quad f = -\frac{F}{2}\\ (\text{para trás}).á
– Força na extremidade:
a = \frac{F}{M}, \quad f = 0.

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