Calcule o fluxo para fora de
através do elipsoide
.
Passo 1
O enunciado dá a campo vetorial
e a superfície fechada elipsoidal
O que é pedido: calcular o fluxo de
para fora (normal externo) dessa superfície elipsoidal fechada.
Informações relevantes que já podemos extrair:
- A superfície é fechada e contém o ponto
no seu interior (pois substituindo a equação é satisfeita no sentido de que o ponto está dentro do elipsoide). - O campo
tem singularidade na origem porque o denominador é zero lá. Isso significa que não podemos aplicar a fórmula da divergência diretamente em toda a região sem cuidado.
Passo 2
Vamos calcular a divergência de
em todo ponto onde ela é bem definida, isto é, para
.
Defina
e escreva
Calcule cada derivada parcial:
Analogamente,
Somando as três componentes obtemos a divergência para
:
Portanto
em todo ponto com
.
Passo 3
Como
fora da origem, podemos aplicar a ideia do teorema da divergência com cuidado tratando a singularidade na origem: considerar a região
ou seja, o interior do elipsoide com um pequeno buraco esférico de raio
removido em torno da origem. A fronteira de
tem duas peças: o elipsoide
(com normal apontando para fora do elipsoide) e a pequena esfera
(com normal apontando para fora de
, que é para dentro da bola, ou seja, na direção oposta ao normal radial da esfera usual).
Pelo teorema da divergência aplicado a
:
Mas vimos que
em
, então a integral de volume é zero e
Observe o sinal: a normal em
é a normal de
para fora, que aponta para fora de
— isto é, aponta radialmente para dentro da bola pequena (sentido oposto ao radial para fora do centro). Assim a integral sobre
com essa orientação é o negativo da integral da mesma superfície com a normal radial para fora do centro. Rearranjando,
ou seja, o fluxo através do elipsoide é igual ao fluxo através da pequena esfera
tomada com a normal radial para fora do centro. Em particular, o fluxo pela superfície fechada depende apenas do comportamento de
perto da origem e é igual ao fluxo pela esfera pequena.
Passo 4
Calcule o fluxo através de uma esfera de raio
centrada na origem, usando a normal externa
.
Sobre a esfera
,
O produto escalar com a normal externa é
O elemento de área da esfera é
(em coordenadas esféricas). Assim o fluxo pela esfera é
Calcule as integrais angulares:
portanto
Passo 5
Como o fluxo através da pequena esfera de raio
é
e esse valor não depende de
, pela argumentação do Passo 3 o fluxo através do elipsoide original também é
. Observação útil para a prova: este campo é o campo radial com intensidade
, cuja integral de superfície sobre qualquer superfície fechada que envolva a origem dá sempre
— esse é um resultado clássico (análogo à Lei de Gauss para uma carga pontual, em unidades geométricas).