Calcule o fluxo para fora de
\mathbf{F}(x, y, z)=\frac{x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}
através do elipsoide 4 x^{2}+9 y^{2}+6 z^{2}=36.

Passo 1

O enunciado dá a campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\frac{x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}
e a superfície fechada elipsoidal
4x^{2}+9y^{2}+6z^{2}=36.
O que é pedido: calcular o fluxo de \mathbf{F} para fora (normal externo) dessa superfície elipsoidal fechada.
Informações relevantes que já podemos extrair:
  • A superfície é fechada e contém o ponto (0,0,0) no seu interior (pois substituindo x=y=z=0 a equação é satisfeita no sentido de que o ponto está dentro do elipsoide).
  • O campo \mathbf{F} tem singularidade na origem (0,0,0) porque o denominador \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3/2} é zero lá. Isso significa que não podemos aplicar a fórmula da divergência diretamente em toda a região sem cuidado.

Passo 2

Vamos calcular a divergência de \mathbf{F} em todo ponto onde ela é bem definida, isto é, para \,(x,y,z)\neq(0,0,0)\,.
Defina \;r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\; e escreva
\mathbf{F}=\frac{x}{r^{3}}\mathbf{i}+\frac{y}{r^{3}}\mathbf{j}+\frac{z}{r^{3}}\mathbf{k}.
Calcule cada derivada parcial:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{r^{3}}\right) =\frac{1}{r^{3}} + x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\left(r^{-3}\right) =\frac{1}{r^{3}} + x\cdot(-3)r^{-5}\cdot x =\frac{1}{r^{3}} - \frac{3x^{2}}{r^{5}}.
Analogamente,
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{r^{3}}\right) =\frac{1}{r^{3}} - \frac{3y^{2}}{r^{5}},\qquad \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{z}{r^{3}}\right) =\frac{1}{r^{3}} - \frac{3z^{2}}{r^{5}}.
Somando as três componentes obtemos a divergência para r\neq0:
\operatorname{div}\mathbf{F} =\left(\frac{1}{r^{3}}+\frac{1}{r^{3}}+\frac{1}{r^{3}}\right) - \frac{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{r^{5}} =\frac{3}{r^{3}} - \frac{3r^{2}}{r^{5}}=0.
Portanto \operatorname{div}\mathbf{F}=0 em todo ponto com r\neq0.

Passo 3

Como \operatorname{div}\mathbf{F}=0 fora da origem, podemos aplicar a ideia do teorema da divergência com cuidado tratando a singularidade na origem: considerar a região
V_{\varepsilon}=\{\text{interior do elipsoide}\}\setminus\{ \text{bola de raio }\varepsilon \text{ centrada em }0\},
ou seja, o interior do elipsoide com um pequeno buraco esférico de raio \varepsilon removido em torno da origem. A fronteira de V_{\varepsilon} tem duas peças: o elipsoide S (com normal apontando para fora do elipsoide) e a pequena esfera S_{\varepsilon} (com normal apontando para fora de V_{\varepsilon}, que é para dentro da bola, ou seja, na direção oposta ao normal radial da esfera usual).
Pelo teorema da divergência aplicado a V_{\varepsilon}:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS \;+\; \iint_{S_{\varepsilon}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{V_{\varepsilon}}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV.
Mas vimos que \operatorname{div}\mathbf{F}=0 em V_{\varepsilon}, então a integral de volume é zero e
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS + \iint_{S_{\varepsilon}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = 0.
Observe o sinal: a normal em S_{\varepsilon} é a normal de V_{\varepsilon} para fora, que aponta para fora de V_{\varepsilon} — isto é, aponta radialmente para dentro da bola pequena (sentido oposto ao radial para fora do centro). Assim a integral sobre S_{\varepsilon} com essa orientação é o negativo da integral da mesma superfície com a normal radial para fora do centro. Rearranjando,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = -\iint_{S_{\varepsilon}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{S_{\varepsilon}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_{\mathrm{out}}\;dS,
ou seja, o fluxo através do elipsoide é igual ao fluxo através da pequena esfera S_{\varepsilon} tomada com a normal radial para fora do centro. Em particular, o fluxo pela superfície fechada depende apenas do comportamento de \mathbf{F} perto da origem e é igual ao fluxo pela esfera pequena.

Passo 4

Calcule o fluxo através de uma esfera de raio \varepsilon centrada na origem, usando a normal externa \mathbf{n}_{\mathrm{out}}=\mathbf{\hat r}.
Sobre a esfera r=\varepsilon,
\mathbf{F}=\frac{\mathbf{r}}{r^{3}}=\frac{\mathbf{\hat r}}{r^{2}}=\frac{\mathbf{\hat r}}{\varepsilon^{2}}.
O produto escalar com a normal externa é
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_{\mathrm{out}}=\frac{1}{\varepsilon^{2}}.
O elemento de área da esfera é dS=\varepsilon^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi (em coordenadas esféricas). Assim o fluxo pela esfera é
\iint_{S_{\varepsilon}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_{\mathrm{out}}\,dS =\iint_{S_{\varepsilon}}\frac{1}{\varepsilon^{2}}\cdot\varepsilon^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Calcule as integrais angulares:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = 2,\qquad \int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi,
portanto
\iint_{S_{\varepsilon}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_{\mathrm{out}}\,dS = 2\cdot 2\pi = 4\pi.

Passo 5

Como o fluxo através da pequena esfera de raio \varepsilon é 4\pi e esse valor não depende de \varepsilon, pela argumentação do Passo 3 o fluxo através do elipsoide original também é 4\pi. Observação útil para a prova: este campo é o campo radial com intensidade \dfrac{1}{r^{2}}, cuja integral de superfície sobre qualquer superfície fechada que envolva a origem dá sempre 4\pi — esse é um resultado clássico (análogo à Lei de Gauss para uma carga pontual, em unidades geométricas).

Resposta

4\pi

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