|2.0 pontos| 05. Um pequene bloco apoiado sobre uma mesa horizontal sem atrito possui massa de
Ele estâ preso a uma corda sem massa que passa através de um buraco na superficie. No inscio, o bloco está girando a uma distância de
do buraco com uma velocidade angular de
s. A seguir, a corda e puxada por baixo. fazendo com que o raio do circulo se encurte para 0.15 m . O bloco pode ser considerado uma particula.
(a) O momento angular é conservado? Por quê?
(b) Qual è a nova velocidade angular?
(a) O momento angular é conservado? Por quê?
(b) Qual è a nova velocidade angular?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
- Massa do bloco:
. - Raio inicial:
. - Velocidade angular inicial:
. - Raio final:
(a corda é puxada por baixo e o bloco se aproxima do buraco).
Perguntas:
(a) O momento angular é conservado? Por quê?
(b) Qual é a nova velocidade angular?
Passo 2
Conceitos fundamentais (aula rápida e prática):
- Momento angular de uma partícula em movimento circular em torno de um ponto é dado por
, onde é o momento de inércia em relação ao eixo escolhido e a velocidade angular. - Para uma partícula de massa
a uma distância do eixo, o momento de inércia é . Portanto, o momento angular é
- A segunda peça importante é a relação entre torque externo
e variação do momento angular:
Se o torque externo em relação ao mesmo ponto for zero, então
e o momento angular é conservado.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso sistema (explicação didática do porquê do passo (a)):
- A força que a corda exerce sobre o bloco é radial (apontando para o buraco), ou seja, ela é aplicada ao longo da linha que liga o bloco ao buraco. O torque produzido por uma força
aplicada no ponto com vetor posição é . - Quando
é radial, e são colineares e o produto vetorial é zero: . - A mesa é sem atrito (o enunciado diz isso), então não há torque de atrito que atue para mudar o momento angular em torno do buraco.
- Conclusão: não há torque externo em torno do buraco, logo
e o momento angular em relação ao buraco é conservado.
Passo 4
Agora usar a conservação do momento angular para calcular
:
- Igualando o momento angular inicial e final:
- Cancelando
em ambos os lados (massa não é zero):
- Isolando
:
Passo 5
Substituir os números passo a passo (contas feitas de forma a poder reproduzir na prova sem calculadora complexa):
- Calcular
e :
- Razão:
- Portanto:
Passo 6
Interpretação física curta (útil para entender o resultado na prova):
- Quando o raio foi reduzido pela metade (
), a razão das é , invertendo isso a velocidade angular aumenta por um fator . É típico: ao aproximar a massa do eixo sem torque externo, a aumenta para conservar . - Para relacionar com a velocidade tangencial
: aqui e . A velocidade tangencial dobrou porque quando é constante (neste caso, raio pela metade → dobrada). - Observação energética: a energia cinética aumentou; esse aumento vem do trabalho realizado pela força que puxa a corda (não é conservada), mas o momento angular continua conservado.
Resposta
(a) Sim — o momento angular é conservado porque não há torque externo em torno do buraco (a força da corda é radial e a mesa é sem atrito).
(b)
(b)