|2.0 pontos| 05. Um pequene bloco apoiado sobre uma mesa horizontal sem atrito possui massa de 0,025 \mathrm{~kg} Ele estâ preso a uma corda sem massa que passa através de um buraco na superficie. No inscio, o bloco está girando a uma distância de 0,3 \mathrm{~m} do buraco com uma velocidade angular de 2,85 \mathrm{rad} s. A seguir, a corda e puxada por baixo. fazendo com que o raio do circulo se encurte para 0.15 m . O bloco pode ser considerado uma particula.
(a) O momento angular é conservado? Por quê?
(b) Qual è a nova velocidade angular?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Massa do bloco: m=0,025\\ \mathrm{kg}.
  • Raio inicial: r_1=0,3\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade angular inicial: \omega_1=2,85\\ \mathrm{rad/s}.
  • Raio final: r_2=0,15\\ \mathrm{m} (a corda é puxada por baixo e o bloco se aproxima do buraco).
    Perguntas:
    (a) O momento angular é conservado? Por quê?
    (b) Qual é a nova velocidade angular \omega_2?

Passo 2

Conceitos fundamentais (aula rápida e prática):
  • Momento angular de uma partícula em movimento circular em torno de um ponto é dado por L = I\omega, onde I é o momento de inércia em relação ao eixo escolhido e \omega a velocidade angular.
  • Para uma partícula de massa m a uma distância r do eixo, o momento de inércia é I = m r^{2}. Portanto, o momento angular é
L = m r^{2}\omega.
  • A segunda peça importante é a relação entre torque externo \tau_{\text{ext}} e variação do momento angular:
\frac{dL}{dt}=\tau_{\text{ext}}.
Se o torque externo em relação ao mesmo ponto for zero, então dL/dt=0 e o momento angular é conservado.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso sistema (explicação didática do porquê do passo (a)):
  • A força que a corda exerce sobre o bloco é radial (apontando para o buraco), ou seja, ela é aplicada ao longo da linha que liga o bloco ao buraco. O torque produzido por uma força \mathbf{F} aplicada no ponto com vetor posição \mathbf{r} é \boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}.
  • Quando \mathbf{F} é radial, \mathbf{r} e \mathbf{F} são colineares e o produto vetorial é zero: \mathbf{r}\times\mathbf{F}=0.
  • A mesa é sem atrito (o enunciado diz isso), então não há torque de atrito que atue para mudar o momento angular em torno do buraco.
  • Conclusão: não há torque externo em torno do buraco, logo \tau_{\text{ext}}=0 e o momento angular L em relação ao buraco é conservado.

Passo 4

Agora usar a conservação do momento angular para calcular \omega_2:
  • Igualando o momento angular inicial e final:
L_1 = L_2 \quad\Longrightarrow\quad m r_1^{2}\omega_1 = m r_2^{2}\omega_2.
  • Cancelando m em ambos os lados (massa não é zero):
r_1^{2}\omega_1 = r_2^{2}\omega_2.
  • Isolando \omega_2:
\omega_2 = \omega_1\frac{r_1^{2}}{r_2^{2}}.

Passo 5

Substituir os números passo a passo (contas feitas de forma a poder reproduzir na prova sem calculadora complexa):
  • Calcular r_1^{2} e r_2^{2}:
r_1^{2} = (0,3)^{2} = 0,09, \qquad r_2^{2} = (0,15)^{2} = 0,0225.
  • Razão:
\frac{r_1^{2}}{r_2^{2}} = \frac{0,09}{0,0225} = 4.
  • Portanto:
\omega_2 = \omega_1 \times 4 = 2,85\times 4 = 11,4\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Interpretação física curta (útil para entender o resultado na prova):
  • Quando o raio foi reduzido pela metade ( 0,3\to0,15), a razão das r^{2} é (1/2)^{2}=1/4, invertendo isso a velocidade angular aumenta por um fator 4. É típico: ao aproximar a massa do eixo sem torque externo, a \omega aumenta para conservar L.
  • Para relacionar com a velocidade tangencial v=\omega r: aqui v_1=\omega_1 r_1=2,85\times0,3=0,855\\ \mathrm{m/s} e v_2=\omega_2 r_2=11,4\times0,15=1,71\\ \mathrm{m/s}. A velocidade tangencial dobrou porque v\propto 1/r quando L é constante (neste caso, raio pela metade → v dobrada).
  • Observação energética: a energia cinética aumentou; esse aumento vem do trabalho realizado pela força que puxa a corda (não é conservada), mas o momento angular continua conservado.

Resposta

(a) Sim — o momento angular é conservado porque não há torque externo em torno do buraco (a força da corda é radial e a mesa é sem atrito).
(b) \omega_2=11,4\\ \mathrm{rad/s}

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