Verifique se o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial
, onde
é a bola unitária
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Campo vetorial:
. - Região:
é a bola unitária: . - Pedido: verificar se o Teorema do Divergente (Teorema de Gauss) é verdadeiro para esse campo e essa região — isto é, comparar o fluxo de
através da superfície com a integral tripla do divergente sobre .
Passo 2
Definição e cálculo do divergente (parte didática).
- Lembrete: o divergente de um campo
é a operação
Cada termo é a derivada parcial da componente do campo em relação à variável correspondente; isso mede (intuitivamente) a taxa de expansão local do campo.
- No nosso caso,
. Então
Passo 3
Cálculo da integral tripla do divergente sobre
(usando coordenadas esféricas, explicado).
- Para integrar uma função radial ou constante sobre a bola, coordenadas esféricas são muito convenientes. Em coordenadas esféricas usamos as variáveis
(distância ao origem), (ângulo polar, ) e (ângulo azimutal, ), com elemento de volume
- Como
é constante, a integral tripla é
- O volume da bola de raio
é
Calculando passo a passo:
Multiplicando,
Portanto
Passo 4
Cálculo do fluxo pela superfície
(lado esquerdo do Teorema) e explicação da normal.
- A superfície
é a esfera unidade . O vetor normal unitário externo à superfície (vetor normal apontando para fora da bola) em um ponto da esfera é simplesmente
Como na esfera unidade temos
, fica
.
- O fluxo é a integral de superfície
Calculamos o integrando:
Mas na esfera unidade
. Logo
em toda a superfície.
- Então o fluxo é simplesmente a área da esfera:
A área da esfera de raio
é conhecida:
. (Se preferir verificar por integração: em coordenadas esféricas a área elementar na superfície
é
, e integrando
.)
- Portanto
Passo 5
Comparação e conclusão final (motivacional curto).
- Encontramos que a integral tripla do divergente sobre
é e que o fluxo através de também é . - Como os dois lados coincidem, o Teorema do Divergente é verificado para este campo e esta região. Mandou bem: deu certinho!
Resposta
Fluxo pela superfície
:
Integral tripla do divergente sobre :
Integral tripla do divergente sobre