Verifique se o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial \mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, onde E é a bola unitária x^{2} +y^{2}+z^{2} \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Campo vetorial: \mathbf{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}.
  • Região: E é a bola unitária: \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant 1\}.
  • Pedido: verificar se o Teorema do Divergente (Teorema de Gauss) é verdadeiro para esse campo e essa região — isto é, comparar o fluxo de \mathbf{F} através da superfície \partial E com a integral tripla do divergente sobre E.

Passo 2

Definição e cálculo do divergente (parte didática).
  • Lembrete: o divergente de um campo \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3) é a operação
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Cada termo é a derivada parcial da componente do campo em relação à variável correspondente; isso mede (intuitivamente) a taxa de expansão local do campo.
  • No nosso caso, \mathbf{F}(x,y,z)=(x,y,z). Então
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(y)+\frac{\partial}{\partial z}(z)=1+1+1=3.

Passo 3

Cálculo da integral tripla do divergente sobre E (usando coordenadas esféricas, explicado).
  • Para integrar uma função radial ou constante sobre a bola, coordenadas esféricas são muito convenientes. Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \rho (distância ao origem), \varphi (ângulo polar, 0\leqslant\varphi\leqslant\pi) e \theta (ângulo azimutal, 0\leqslant\theta<2\pi), com elemento de volume
dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
  • Como \nabla\cdot\mathbf{F}=3 é constante, a integral tripla é
\iiint_{E}\nabla\cdot\mathbf{F}\, dV = \iiint_{E} 3\, dV = 3\iiint_{E} dV = 3\cdot \operatorname{Vol}(E).
  • O volume da bola de raio 1 é
\operatorname{Vol}(E)=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\rho=0}^{1}\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Calculando passo a passo:
\int_{0}^{1}\rho^{2}\, d\rho=\left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3},
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\, d\varphi=\left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi}=2,
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando,
\operatorname{Vol}(E)=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot 2\pi=\frac{4\pi}{3}.
Portanto
\iiint_{E}\nabla\cdot\mathbf{F}\, dV = 3\cdot \frac{4\pi}{3}=4\pi.

Passo 4

Cálculo do fluxo pela superfície \partial E (lado esquerdo do Teorema) e explicação da normal.
  • A superfície \partial E é a esfera unidade S=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}. O vetor normal unitário externo à superfície (vetor normal apontando para fora da bola) em um ponto da esfera é simplesmente
\mathbf{n}=\frac{\langle x,y,z\rangle}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
Como na esfera unidade temos \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=1, fica \mathbf{n}=\langle x,y,z\rangle.
  • O fluxo é a integral de superfície
\iint_{\partial E}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\, dS.
Calculamos o integrando:
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}= (x,y,z)\cdot (x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Mas na esfera unidade x^{2}+y^{2}+z^{2}=1. Logo \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=1 em toda a superfície.
  • Então o fluxo é simplesmente a área da esfera:
\iint_{\partial E}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\, dS = \iint_{\partial E} 1\, dS = \operatorname{Area}(\partial E).
A área da esfera de raio 1 é conhecida: \operatorname{Area}(\partial E)=4\pi. (Se preferir verificar por integração: em coordenadas esféricas a área elementar na superfície \rho=1 é dS=\sin\varphi\, d\varphi\, d\theta, e integrando \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\, d\varphi\, d\theta = 4\pi.)
  • Portanto
\iint_{\partial E}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\, dS = 4\pi.

Passo 5

Comparação e conclusão final (motivacional curto).
  • Encontramos que a integral tripla do divergente sobre E é \;4\pi e que o fluxo através de \partial E também é \;4\pi.
  • Como os dois lados coincidem, o Teorema do Divergente é verificado para este campo e esta região. Mandou bem: deu certinho!

Resposta

Fluxo pela superfície \partial E: \;4\pi
Integral tripla do divergente sobre E: \;4\pi

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