Calcule o fluxo de overrightarrow{\mathcal{V}} para os seguintes casos: S é a superfície do plano 2 x+y+2 z=6, situada no octante positivo, e overrightarrow{\mathcal{V}} é o campo de velocidades
\mathbf{v}=\left(x+y^{2}\right) \hat{\mathbf{i}}-2 x \hat{\mathbf{j}}+2 y z \hat{\mathbf{k}}
Nos dois casos, interprete fisicamente o resultado das integrais.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo de velocidades \mathbf{v} através da superfície S definida pelo plano
Informações relevantes dadas e obtidas imediatamente a partir do enunciado:
A porção de plano em questão é o triângulo cujos vértices são os interceptos com os eixos: (3,0,0), (0,6,0) e (0,0,3) (obtidos fazendo y=z=0, x=z=0 e x=y=0 na equação do plano).
Queremos o fluxo através dessa face triangular. Há duas formas úteis de obter esse fluxo (duas “vias” do enunciado): (i) cálculo direto da integral de superfície aberta \iint_{S}\mathbf{v}\cdot \mathbf{\hat n}\,dS; (ii) usar o Teorema da Divergência fechando a superfície com os planos coordenados e computando o fluxo pelo fechamento. O enunciado também pede interpretação física do resultado das integrais.
Nada mais será resolvido neste passo; a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Primeiro método: cálculo direto como superfície do tipo z=g(x,y).
Escrevemos a superfície como z em função de x,y. Da equação do plano,
2x+y+2z=6 \quad\Rightarrow\quad z=3 - x - \tfrac{y}{2}.
O domínio D projetado no plano xy é o triângulo com x\ge 0,\\ y\ge 0 e z\ge 0. A condição z\ge 0 dá
Logo 0\le x\le 3 e 0\le y\le 6-2x.
3) Fórmula prática para fluxo: se S é dada por z=g(x,y) e \mathbf{v}=(P,Q,R), então a integral de fluxo com a orientação cujo componente k do vetor normal é positivo (normal “para cima”) é
Explico rapidamente essa fórmula: a normal não unitária gerada por parametrização (x,y,g(x,y)) é proporcional a (-g_x,-g_y,1); projetando \mathbf{v} sobre essa direção obtemos o integrando acima. Aqui P=x+y^{2}, Q=-2x, R=2yz, g_x=-1, g_y=-\tfrac{1}{2}.
4) Calculemos o integrando:
Portanto, pelo cálculo direto, o fluxo de \mathbf{v} através de S (com a orientação cujo componente em z é positivo — que coincide com a normal apontando para fora do tetraedro formado pelos planos coordenados) é 81.
Passo 3
Segundo método: usar o Teorema da Divergência (Gauss) fechando a superfície com os planos coordenados.
Enunciado do Teorema da Divergência: para um sólido V com fronteira fechada \partial V,
Aqui o sólido V é o tetraedro no primeiro octante limitado por x=0, y=0, z=0 e o plano 2x+y+2z=6. A fronteira \partial V tem quatro faces: a face oblíqua S e as três faces sobre os planos coordenados.
2) Calcule a divergência:
Fazendo as contas (detalhes algébricos: expandir e integrar em y, usar u=3-x para simplificar) obtemos o resultado
\iiint_{V}(1+2y)\,dV = 36.
(Irei justificar esse valor mostrando a decomposição com as faces a seguir.)
4) Agora calculemos o fluxo pelas três faces nos planos coordenados (orientação sempre “para fora” do sólido):
Face em x=0 (plano yz): normal para fora é \hat{\mathbf{n}}=(-1,0,0). Em x=0, P=x+y^{2}=y^{2}. Assim o produto escalar \mathbf{v}\cdot\hat{\mathbf{n}}=-y^{2}. O domínio nessa face é 0\le y\le 6,\\\ 0\le z\le (6-y)/2. Logo
Face em y=0 (plano xz): normal para fora é \hat{\mathbf{n}}=(0,-1,0). Em y=0, \mathbf{v}\cdot\hat{\mathbf{n}} = -Q = -(-2x)=2x. O domínio é 0\le x\le 3,\\\ 0\le z\le 3-x. Assim
Face em z=0 (plano xy): normal para fora é \hat{\mathbf{n}}=(0,0,-1). Em z=0, \mathbf{v}\cdot\hat{\mathbf{n}} = -R = -2yz, e como z=0 isso vale 0. Assim
\Phi_{z=0}=0.
Pelo Teorema da Divergência, a soma dos fluxos pelas quatro faces é a integral tripla:
Interpretação física (passo a passo, sem pular etapas):
O fluxo numérico \Phi_{S}=81 representa a taxa líquida de volume (ou de “fluido”) que atravessa a face oblíqua S por unidade de tempo, assumindo que \mathbf{v} é um campo de velocidades que mede unidades de comprimento por tempo. Como o valor é positivo, há um fluxo líquido saindo do tetraedro através dessa face (ou seja, mais fluido sai do sólido por S do que entra por S).
O valor da integral tripla \iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{v})\,dV=36 representa a taxa total de geração (ou sumário de “fontes menos sumidouros”) de fluido dentro do volume V. Positivo 36 significa que, no balanço total, o interior do tetraedro é, globalmente, uma fonte líquida produzindo fluxo que deve sair pela fronteira.
Os fluxos pelas faces do plano coordenado mostram como esse balanço se distribui: a face x=0 tem fluxo -54 (negativo), ou seja, existe um fluxo líquido entrando pelo plano x=0 de magnitude 54; as faces y=0 e z=0 contribuem com +9 e 0, respectivamente. Somando todas as faces dá 81-54+9+0=36, que é exatamente a produção líquida interna. Em linguagem física: parte do fluido entra pelo plano x=0 (fluxo negativo), alguma parte sai pela face y=0 e uma grande saída ocorre pela face oblíqua S; o saldo interno de fontes produz um total de 36 unidades que explicam a diferença entre entradas e saídas.
Moral prática para prova: você pode calcular o fluxo de uma face aberta diretamente com a fórmula de superfície z=g(x,y) ou, frequentemente mais simples, aplicar o Teorema da Divergência fechando a superfície com os planos coordenados e subtrair as contribuições das faces extras. Ambas as vias deram o mesmo resultado 81, como deveria ser.
Resposta
Fluxo através de S (normal apontando para fora do tetraedro): 81.
Interpretação física: fluxo positivo 81 significa que há saída líquida de fluido pelo plano oblíquo S. A integral tripla da divergência sobre o volume é 36, o que representa a taxa líquida de geração de fluido no interior do tetraedro; as contribuições pelas faces coordenadas são \Phi_{x=0}=-54, \Phi_{y=0}=9, \Phi_{z=0}=0, e 81-54+9+0=36 confirma o balanço de massa/fluxo.