Calcule o fluxo de overrightarrow{\mathcal{V}} para os seguintes casos:
S é a superfície do plano 2 x+y+2 z=6, situada no octante positivo, e overrightarrow{\mathcal{V}} é o campo de velocidades
\mathbf{v}=\left(x+y^{2}\right) \hat{\mathbf{i}}-2 x \hat{\mathbf{j}}+2 y z \hat{\mathbf{k}}
Nos dois casos, interprete fisicamente o resultado das integrais.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo de velocidades \mathbf{v} através da superfície S definida pelo plano
2x+y+2z=6
situada no octante positivo. O campo é
\mathbf{v}=(x+y^{2})\,\hat{\mathbf{i}}-2x\,\hat{\mathbf{j}}+2yz\,\hat{\mathbf{k}}.
Informações relevantes dadas e obtidas imediatamente a partir do enunciado:
  • A porção de plano em questão é o triângulo cujos vértices são os interceptos com os eixos: (3,0,0), (0,6,0) e (0,0,3) (obtidos fazendo y=z=0, x=z=0 e x=y=0 na equação do plano).
  • Queremos o fluxo através dessa face triangular. Há duas formas úteis de obter esse fluxo (duas “vias” do enunciado): (i) cálculo direto da integral de superfície aberta \iint_{S}\mathbf{v}\cdot \mathbf{\hat n}\,dS; (ii) usar o Teorema da Divergência fechando a superfície com os planos coordenados e computando o fluxo pelo fechamento. O enunciado também pede interpretação física do resultado das integrais.
    Nada mais será resolvido neste passo; a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Primeiro método: cálculo direto como superfície do tipo z=g(x,y).
  1. Escrevemos a superfície como z em função de x,y. Da equação do plano,
2x+y+2z=6 \quad\Rightarrow\quad z=3 - x - \tfrac{y}{2}.
  1. O domínio D projetado no plano xy é o triângulo com x\ge 0,\\ y\ge 0 e z\ge 0. A condição z\ge 0
3 - x - \tfrac{y}{2}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad y\le 6 - 2x.
Logo 0\le x\le 3 e 0\le y\le 6-2x.
3) Fórmula prática para fluxo: se S é dada por z=g(x,y) e \mathbf{v}=(P,Q,R), então a integral de fluxo com a orientação cujo componente k do vetor normal é positivo (normal “para cima”) é
\iint_{S}\mathbf{v}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,dS=\iint_{D}\big(-P\,g_x - Q\,g_y + R\big)\,dA.
Explico rapidamente essa fórmula: a normal não unitária gerada por parametrização (x,y,g(x,y)) é proporcional a (-g_x,-g_y,1); projetando \mathbf{v} sobre essa direção obtemos o integrando acima. Aqui P=x+y^{2}, Q=-2x, R=2yz, g_x=-1, g_y=-\tfrac{1}{2}.
4) Calculemos o integrando:
-P\,g_x = -(x+y^{2})(-1)=x+y^{2},
-Q\,g_y = -(-2x)\Big(-\tfrac{1}{2}\Big)= -x,
R=2yz.
Somando,
-Pg_x-Qg_y+R = (x+y^{2}) - x + 2yz = y^{2}+2yz.
Substituindo z=3-x-\tfrac{y}{2},
2yz = 2y\Big(3-x-\tfrac{y}{2}\Big)=6y-2xy-y^{2},
portanto
y^{2}+2yz = y^{2} + (6y-2xy-y^{2}) = 6y-2xy = 2y(3-x).
  1. O fluxo será então
\iint_{D} (6y-2xy)\,dA = \int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{6-2x} (6y-2xy)\,dy\,dx.
Calcule a integral interna em y:
\int_{0}^{6-2x} (6y-2xy)\,dy = \big[(3 - x)y^{2}\big]_{0}^{6-2x} = (3-x)\,(6-2x)^{2}.
Note que (6-2x)=2(3-x), logo (6-2x)^{2}=4(3-x)^{2}. Assim a expressão vira
(3-x)\,4(3-x)^{2}=4(3-x)^{3}.
  1. Agora integramos em x:
\int_{0}^{3}4(3-x)^{3}\,dx.
Com a substituição u=3-x, obtemos
\int_{0}^{3}4u^{3}\,du = 4\cdot\frac{u^{4}}{4}\Big|_{0}^{3} = 3^{4}=81.
Portanto, pelo cálculo direto, o fluxo de \mathbf{v} através de S (com a orientação cujo componente em z é positivo — que coincide com a normal apontando para fora do tetraedro formado pelos planos coordenados) é 81.

Passo 3

Segundo método: usar o Teorema da Divergência (Gauss) fechando a superfície com os planos coordenados.
  1. Enunciado do Teorema da Divergência: para um sólido V com fronteira fechada \partial V,
\iint_{\partial V}\mathbf{v}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS=\iiint_{V} (\nabla\cdot\mathbf{v})\,dV.
Aqui o sólido V é o tetraedro no primeiro octante limitado por x=0, y=0, z=0 e o plano 2x+y+2z=6. A fronteira \partial V tem quatro faces: a face oblíqua S e as três faces sobre os planos coordenados.
2) Calcule a divergência:
\nabla\cdot\mathbf{v} = \frac{\partial}{\partial x}(x+y^{2}) + \frac{\partial}{\partial y}(-2x) + \frac{\partial}{\partial z}(2yz) = 1 + 0 + 2y = 1+2y.
  1. Calcule o integral triplo
\iiint_{V}(1+2y)\,dV.
Usamos as mesmas projeções que no Passo 2: 0\le x\le 3, 0\le y\le 6-2x, 0\le z\le 3 - x - \tfrac{y}{2}. Integrando primeiro em z,
\iiint_{V}(1+2y)\,dV=\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{6-2x} (1+2y)\big(3-x-\tfrac{y}{2}\big)\,dy\,dx.
Fazendo as contas (detalhes algébricos: expandir e integrar em y, usar u=3-x para simplificar) obtemos o resultado
\iiint_{V}(1+2y)\,dV = 36.
(Irei justificar esse valor mostrando a decomposição com as faces a seguir.)
4) Agora calculemos o fluxo pelas três faces nos planos coordenados (orientação sempre “para fora” do sólido):
  • Face em x=0 (plano yz): normal para fora é \hat{\mathbf{n}}=(-1,0,0). Em x=0, P=x+y^{2}=y^{2}. Assim o produto escalar \mathbf{v}\cdot\hat{\mathbf{n}}=-y^{2}. O domínio nessa face é 0\le y\le 6,\\\ 0\le z\le (6-y)/2. Logo
\Phi_{x=0}=\int_{y=0}^{6}\int_{z=0}^{(6-y)/2} (-y^{2})\,dz\,dy = -\tfrac{1}{2}\int_{0}^{6} y^{2}(6-y)\,dy = -54.
  • Face em y=0 (plano xz): normal para fora é \hat{\mathbf{n}}=(0,-1,0). Em y=0, \mathbf{v}\cdot\hat{\mathbf{n}} = -Q = -(-2x)=2x. O domínio é 0\le x\le 3,\\\ 0\le z\le 3-x. Assim
\Phi_{y=0}=\int_{x=0}^{3}\int_{z=0}^{3-x} 2x\,dz\,dx = \int_{0}^{3} 2x(3-x)\,dx = 9.
  • Face em z=0 (plano xy): normal para fora é \hat{\mathbf{n}}=(0,0,-1). Em z=0, \mathbf{v}\cdot\hat{\mathbf{n}} = -R = -2yz, e como z=0 isso vale 0. Assim
\Phi_{z=0}=0.
  1. Pelo Teorema da Divergência, a soma dos fluxos pelas quatro faces é a integral tripla:
\Phi_{S} + \Phi_{x=0} + \Phi_{y=0} + \Phi_{z=0} = \iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{v})\,dV = 36.
Substituindo \Phi_{x=0}=-54, \Phi_{y=0}=9, \Phi_{z=0}=0 obtemos
\Phi_{S} -54 + 9 + 0 = 36 \quad\Rightarrow\quad \Phi_{S}=36+45=81.
Isso confirma o resultado do Passo 2.

Passo 4

Interpretação física (passo a passo, sem pular etapas):
  1. O fluxo numérico \Phi_{S}=81 representa a taxa líquida de volume (ou de “fluido”) que atravessa a face oblíqua S por unidade de tempo, assumindo que \mathbf{v} é um campo de velocidades que mede unidades de comprimento por tempo. Como o valor é positivo, há um fluxo líquido saindo do tetraedro através dessa face (ou seja, mais fluido sai do sólido por S do que entra por S).
  2. O valor da integral tripla \iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{v})\,dV=36 representa a taxa total de geração (ou sumário de “fontes menos sumidouros”) de fluido dentro do volume V. Positivo 36 significa que, no balanço total, o interior do tetraedro é, globalmente, uma fonte líquida produzindo fluxo que deve sair pela fronteira.
  3. Os fluxos pelas faces do plano coordenado mostram como esse balanço se distribui: a face x=0 tem fluxo -54 (negativo), ou seja, existe um fluxo líquido entrando pelo plano x=0 de magnitude 54; as faces y=0 e z=0 contribuem com +9 e 0, respectivamente. Somando todas as faces dá 81-54+9+0=36, que é exatamente a produção líquida interna. Em linguagem física: parte do fluido entra pelo plano x=0 (fluxo negativo), alguma parte sai pela face y=0 e uma grande saída ocorre pela face oblíqua S; o saldo interno de fontes produz um total de 36 unidades que explicam a diferença entre entradas e saídas.
  4. Moral prática para prova: você pode calcular o fluxo de uma face aberta diretamente com a fórmula de superfície z=g(x,y) ou, frequentemente mais simples, aplicar o Teorema da Divergência fechando a superfície com os planos coordenados e subtrair as contribuições das faces extras. Ambas as vias deram o mesmo resultado 81, como deveria ser.

Resposta

Fluxo através de S (normal apontando para fora do tetraedro): 81.
Interpretação física: fluxo positivo 81 significa que há saída líquida de fluido pelo plano oblíquo S. A integral tripla da divergência sobre o volume é 36, o que representa a taxa líquida de geração de fluido no interior do tetraedro; as contribuições pelas faces coordenadas são \Phi_{x=0}=-54, \Phi_{y=0}=9, \Phi_{z=0}=0, e 81-54+9+0=36 confirma o balanço de massa/fluxo.

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