Dado o campo elétrico
\overrightarrow{\mathcal{E}}=6 z \hat{\mathbf{i}}+(2 x+y) \hat{\mathbf{j}}-x \hat{\mathbf{k}}
calcule o fluxo elétrico total através da superfície definida pelo cilindro x^{2}+z^{2}=9 e pelos planos x=0, y=0, z=0 e y=8, e interprete fisicamente o resultado.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) calcular o fluxo elétrico total através da superfície fechada formada pelo cilindro x^{2}+z^{2}=9\) limitada pelos planos \(x=0\), \(z=0\), \(y=0\) e \(y=8\); (2) interpretar fisicamente o resultado. As informações dadas são: o campo elétrico \[\overrightarrow{\mathcal{E}}=6 z \,\hat{\mathbf{i}}+(2 x+y)\,\hat{\mathbf{j}}-x\,\hat{\mathbf{k}}
e a região volumétrica V limitada por
\begin{cases} x^{2}+z^{2}\le 9,\\[4pt] x\ge 0,\\[4pt] z\ge 0,\\[4pt] 0\le y\le 8. \end{cases}
Obs.: a superfície fechada é composta pela superfície cilíndrica lateral (no trecho com x\ge0,z\ge0\]) e pelas cinco faces planas: \(x=0, z=0, y=0 e y=8 (as duas últimas são discos-quadrantes).]

Passo 2

Estratégia de cálculo (explicação didática do método): vamos usar o teorema da divergência (também chamado teorema de Gauss para volumes). O teorema afirma que, para um campo vetorial suficientemente suave \overrightarrow{F} e uma região volumétrica V com fronteira fechada S=\partial V orientada para fora,
\iint_{S}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\overrightarrow{F}\,dV.
Aqui \nabla\cdot\overrightarrow{F} é a divergência de \overrightarrow{F}, d\overrightarrow{S} é o vetor de área orientado para fora da superfície, e dV é o elemento volumétrico. A vantagem é que muitas vezes \nabla\cdot\overrightarrow{F} é mais simples que calcular fluxos em cada face separadamente. No nosso problema \overrightarrow{F}=\overrightarrow{\mathcal{E}}.

Passo 3

Calcular a divergência do campo passo a passo. A divergência é definida por
\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{E}}=\frac{\partial}{\partial x}(6z)+\frac{\partial}{\partial y}(2x+y)+\frac{\partial}{\partial z}(-x).
Agora derivamos cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}(6z)=0\quad(\text{pois }6z\text{ não depende de }x),ã
\frac{\partial}{\partial y}(2x+y)=1\quad(\text{derivada de }y\text{ em relação a }y\text{ é }1),çãé
\frac{\partial}{\partial z}(-x)=0\quad(\text{pois }-x\text{ não depende de }z).ã
Somando,
\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{E}}=0+1+0=1.
Portanto a divergência é constante e igual a 1 em todo o volume.

Passo 4

Montar a integral tripla da divergência sobre V. Como a divergência é 1, o fluxo será igual ao volume de V:
\iint_{S}\overrightarrow{\mathcal{E}}\cdot d\overrightarrow{S}=\iiint_{V}1\,dV=\text{Vol}(V).
É natural usar coordenadas cilíndricas no plano x\!\!-\!z. Faça a mudança
x=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,
com o jacobiano dV=r\,dr\,d\theta\,dy. Os limites da região são
0\le r\le 3,\qquad 0\le\theta\le \tfrac{\pi}{2},\qquad 0\le y\le 8,
porque temos o quadrante x\ge0,z\ge0 (logo \theta entre 0 e \tfrac{\pi}{2}) e raio até 3. Assim a integral fica
\iiint_{V}1\,dV=\int_{y=0}^{8}\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{3} r\,dr\,d\theta\,dy.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo (mostrando as contas que você pode fazer na prova sem calculadora):
\int_{r=0}^{3} r\,dr=\left.\tfrac{1}{2}r^{2}\right|_{0}^{3}=\tfrac{1}{2}\cdot 9=\tfrac{9}{2}.
Então
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\left(\tfrac{9}{2}\right)d\theta=\tfrac{9}{2}\cdot\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac{9\pi}{4}.
Finalmente
\int_{y=0}^{8}\tfrac{9\pi}{4}\,dy=\tfrac{9\pi}{4}\cdot 8=\frac{72\pi}{4}=18\pi.
Portanto o valor da integral tripla (o volume de V) é \,18\pi.

Passo 6

Interpretação física (didática): em eletrostática diferencial, a equação de Maxwell (Lei de Gauss local) relaciona divergência do campo elétrico à densidade de carga:
\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{E}}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.
Como \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{E}}=1, obtemos
\rho=\varepsilon_{0}.
Isto significa que há uma densidade volumétrica de carga uniforme igual a \varepsilon_{0} dentro da região V. A carga total contida em V é
Q=\rho\cdot \text{Vol}(V)=\varepsilon_{0}\cdot 18\pi.
Pela forma integral da Lei de Gauss, o fluxo total pela superfície fechada é \Phi=Q/\varepsilon_{0}, que cancela o \varepsilon_{0} e dá exatamente o volume 18\pi. O fato do fluxo ser positivo indica que há carga líquida positiva dentro da região (saem mais linhas de campo do volume do que entram).

Resposta

\displaystyle \Phi_{\text{total}}=18\pi
Interpretação física: \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{E}}=1\Rightarrow \rho=\varepsilon_{0} (densidade de carga uniforme), carga total Q=\varepsilon_{0}\cdot 18\pi e, portanto, \Phi=Q/\varepsilon_{0}=18\pi (fluxo positivo indica carga líquida positiva dentro da região).

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