\overrightarrow{\mathcal{E}}=6 z \hat{\mathbf{i}}+(2 x+y) \hat{\mathbf{j}}-x \hat{\mathbf{k}}
calcule o fluxo elétrico total através da superfície definida pelo cilindro x^{2}+z^{2}=9 e pelos planos x=0, y=0, z=0 e y=8, e interprete fisicamente o resultado.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) calcular o fluxo elétrico total através da superfície fechada formada pelo cilindro x^{2}+z^{2}=9\) limitada pelos planos \(x=0\), \(z=0\), \(y=0\) e \(y=8\); (2) interpretar fisicamente o resultado.
As informações dadas são: o campo elétrico
\[\overrightarrow{\mathcal{E}}=6 z \,\hat{\mathbf{i}}+(2 x+y)\,\hat{\mathbf{j}}-x\,\hat{\mathbf{k}}
Obs.: a superfície fechada é composta pela superfície cilíndrica lateral (no trecho com x\ge0,z\ge0\]) e pelas cinco faces planas: \(x=0, z=0, y=0 e y=8 (as duas últimas são discos-quadrantes).]
Passo 2
Estratégia de cálculo (explicação didática do método): vamos usar o teorema da divergência (também chamado teorema de Gauss para volumes). O teorema afirma que, para um campo vetorial suficientemente suave \overrightarrow{F} e uma região volumétrica V com fronteira fechada S=\partial V orientada para fora,
Aqui \nabla\cdot\overrightarrow{F} é a divergência de \overrightarrow{F}, d\overrightarrow{S} é o vetor de área orientado para fora da superfície, e dV é o elemento volumétrico. A vantagem é que muitas vezes \nabla\cdot\overrightarrow{F} é mais simples que calcular fluxos em cada face separadamente. No nosso problema \overrightarrow{F}=\overrightarrow{\mathcal{E}}.
Passo 3
Calcular a divergência do campo passo a passo. A divergência é definida por
Portanto o valor da integral tripla (o volume de V) é \,18\pi.
Passo 6
Interpretação física (didática): em eletrostática diferencial, a equação de Maxwell (Lei de Gauss local) relaciona divergência do campo elétrico à densidade de carga:
Pela forma integral da Lei de Gauss, o fluxo total pela superfície fechada é \Phi=Q/\varepsilon_{0}, que cancela o \varepsilon_{0} e dá exatamente o volume 18\pi. O fato do fluxo ser positivo indica que há carga líquida positiva dentro da região (saem mais linhas de campo do volume do que entram).
Resposta
\displaystyle \Phi_{\text{total}}=18\pi
Interpretação física: \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{E}}=1\Rightarrow \rho=\varepsilon_{0} (densidade de carga uniforme), carga total Q=\varepsilon_{0}\cdot 18\pi e, portanto, \Phi=Q/\varepsilon_{0}=18\pi (fluxo positivo indica carga líquida positiva dentro da região).