4 Calcule de forma literal o campo elétrico gerado por um anel de raio R, com uma carga Q uniformemente distribuída em seu corpo, em um ponto sobre o eixo do anel e à distância d do seu centro.
Considere R=4,24 \mathrm{~cm}, Q=20,0 \mu \mathrm{C}, d=8,62 \mathrm{~m} e marque a alternativa correta.
(9 pontos) (A) 1,75 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (B) 1,75 \times 10^{9} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (C) 2,42 \times 10^{9} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (D) 1,11 \times 10^{10} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (E) 2,05 \times
(a) 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (F) 3,28 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (G) 4,00 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (H) 1,06 \times 10^{4} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (I) 2,03 \times 10^{9} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (J) 8,96 \times 10^{9} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (K) 1,57 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (L) 2,42 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (M) 3,57 \times 10^{9} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (N) 7,64 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (O) 2,67 \times 10^{9} \mathrm{~V} / \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico no eixo de um anel de raio R com carga total Q uniformemente distribuída, num ponto a uma distância d do centro. O conteúdo é aplicação da Lei de Coulomb e integração por simetria em coordenadas polares. Vamos precisar escrever o elemento de carga dq, usar a componente axial do campo e integrar de 0 a 2\pi.

Passo 2

Escolhemos coordenada angular \varphi ao redor do anel. Um elemento de carga é
dq = \frac{Q}{2\pi R}\,R\,d\varphi = \frac{Q}{2\pi}\,d\varphi.
A distância do elemento ao ponto sobre o eixo é
r = \sqrt{R^2 + d^2}.
Pelo princípio de superposição, o módulo do campo de dq vale
dE = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{dq}{r^2},
mas somente a componente axial sobrevive, que é dE\cos\alpha com \cos\alpha = d/r.

Passo 3

Montamos a integral para a componente axial E:
E = \int_0^{2\pi} dE\cos\alpha = \int_0^{2\pi} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{dq}{r^2}\,\frac{d}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{d}{\bigl(R^2+d^2\bigr)^{3/2}} \int_0^{2\pi}dq.
Como \int_0^{2\pi}dq = Q, segue a expressão literal padrão:
E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q\,d}{\bigl(R^2 + d^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 4

Agora substituímos números:
R = 4{,}24\times10^{-2}\,\text{m},\quad d = 8{,}62\,\text{m},\quad Q = 20{,}0\times10^{-6}\,\text{C},\quad \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 8{,}99\times10^9\;\frac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{C}^2}.
Calculemos
R^2 + d^2 \approx (0{,}0424)^2 + (8{,}62)^2 \approx 74{,}306,
\bigl(R^2+d^2\bigr)^{3/2} \approx (74{,}306)^{3/2} \approx 640{,}1,
E \approx 8{,}99\times10^9 \,\frac{20\times10^{-6}\times8{,}62}{640{,}1} \approx 2{,}42\times10^3\;\text{V/m}.
A única alternativa que coincide é a letra (L).

Resposta

(L) 2{,}42\times10^3\\ \mathrm{V/m}

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