2 Considere uma esfera não condutora de raio R=7,78 \mathrm{~cm} que possui uma carga total Q uniformemente distribuída tal que \rho=0,891 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}.
a) Calcule a carga total da esfera.
b) Calcule o campo elétrico a uma distância r_{1}=2,25 \mathrm{~cm} do centro da esfera.
c) Calcule o campo elétrico a uma distância r_{2}=14,7 \mathrm{~cm} do centro da esfera.
d) Faça um gráfico de E em função de r.
(a) (2 pontos) (A) 9,73 \times 10^{-10} \mathrm{C}, (B) 1,98 \times 10^{-9} \mathrm{C}, (C) 2,49 \times 10^{-9} \mathrm{C}, (D) 3,10 \times 10^{-9} \mathrm{C}, (E) 1,10 \times 10^{-9} \mathrm{C}, (F) 2.26 \times 10^{-9} \mathrm{C}, (G) 4,76 \times 10^{-10} \mathrm{C}, (H) 6,72 \times 10^{-10} \mathrm{C}, (I) 1,32 \times 10^{-9} \mathrm{C}, (J) 1,76 \times 10^{-9} \mathrm{C}, (K) 1,46 \times 10^{-9} \mathrm{C}, (L) 3,45 \times 10^{-9} \mathrm{C},(\mathrm{M}) 8,27 \times 10^{-10} \mathrm{C},(\mathrm{N}) 5,78 \times 10^{-10} \mathrm{C},(\mathrm{O}) 3,91 \times 10^{-9} \mathrm{C},

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera não condutora de raio R=7,78\:\mathrm{cm} com densidade de carga volumétrica uniforme \rho=0,891\:\mu\mathrm{C/m}^3. Pede-se:
  • (a) a carga total Q da esfera;
  • (b) o campo elétrico a r_1=2,25\:\mathrm{cm} (dentro da esfera);
  • (c) o campo elétrico a r_2=14,7\:\mathrm{cm} (fora da esfera);
  • (d) gráfico de E em função de r.
    Para resolver usaremos a Lei de Gauss aplicada a distribuições esféricas de carga.

Passo 2

A carga total da esfera é
Q \;=\;\rho\;\times\;\text{Volume da esfera} \;=\;\rho\;\frac{4}{3}\pi R^3.
Substituindo \rho=0,891\times10^{-6}\:\mathrm{C/m^3} e R=0,0778\:\mathrm{m}:
Q =0,891\times10^{-6}\;\frac{4}{3}\,\pi\,(0,0778)^3 \approx1{,}76\times10^{-9}\:\mathrm{C}.
Na lista de alternativas essa é a letra (J).

Passo 3

Para r\le R (dentro da esfera), o campo elétrico cresce linearmente com r. Da Lei de Gauss temos
E(r)\,4\pi r^2 =\frac{\rho\,\tfrac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{\rho\,r}{3\varepsilon_{0}}.
Em r_1=2,25\:\mathrm{cm}=0,0225\:\mathrm{m}:
E(r_1) =\frac{0,891\times10^{-6}\times0,0225}{3\times8,854\times10^{-12}} \approx7{,}55\times10^{2}\:\mathrm{V/m}.

Passo 4

Para r\ge R (fora da esfera), a carga total comporta-se como concentrada no centro, então
E(r) =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^2}.
Em r_2=14,7\:\mathrm{cm}=0,147\:\mathrm{m}:
E(r_2) =\frac{1{,}76\times10^{-9}}{4\pi\times8,854\times10^{-12}\,(0,147)^2} \approx7{,}32\times10^{2}\:\mathrm{V/m}.

Passo 5

O gráfico de E\) versus \(r\) é dado pela função \[E(r)= \begin{cases} \dfrac{\rho\,r}{3\varepsilon_{0}},& 0\le r\le R,\\[6pt] \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}},& r\ge R, \end{cases}
ou seja, E(r)\] cresce linearmente desde \(E(0)=0 até E(R)=\frac{\rho R}{3\varepsilon_{0}} e depois decai como 1/r^2.]

Resposta

(a) Q=1{,}76\times10^{-9}\:\mathrm{C} (alternativa J)
(b) E(2,25\:\mathrm{cm})\approx7{,}55\times10^{2}\:\mathrm{V/m}
(c) E(14,7\:\mathrm{cm})\approx7{,}32\times10^{2}\:\mathrm{V/m}
(d) gráfico mostrando E\propto r para r\le R e E\propto1/r^2 para r\ge R.

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