Durante 6 s um registro libera, com vazão de 240 litros à cada 2 minutos, uma massa fluida sobre um recipiente cilíndrico cuja borda se encontra a 40 cm abaixo da linha de saída do fluido. Pela existência de uma pequena pressão devido ao acúmulo de fluido no registro, o fluido acaba sendo liberado do registro com uma velocidade de 2 \mathrm{~mm} / \mathrm{s}. O diâmetro do recipiente mede 400 mm . Os 6 segundos de vazão completam 3 / 4 da capacidade do recipiente. (a) Determine a velocidade com que a primeira gota de fluido atinge a base do recipiente. (b) Determine o tempo total, desde a abertura do registro, para que o recipiente esteja cheio. R. (a) 3,21 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \quad (b) 8 s .

Passo 1

O enunciado trata de um registro que solta fluido com vazão constante e velocidade de saída, preenchendo um recipiente cilíndrico. Precisamos usar conservação de volume para achar a altura do cilindro e depois aplicar as equações do movimento uniformemente variado para a gota:
Conteúdo: fluxo volumétrico e cinemática do movimento uniformemente acelerado.
Vamos (i) determinar a capacidade do cilindro e sua altura a partir da vazão e dos \frac{3}{4} do volume em 6 s; (ii) calcular a velocidade com que a primeira gota atinge o fundo; (iii) achar o tempo total para encher todo o cilindro.

Passo 2

Calcular a vazão volumétrica \!Q e a área da base do cilindro.
Inline:
Q = \frac{240\\ \text{L}}{2\,\text{min}} = \frac{240\times10^{-3}\,\mathrm{m^3}}{120\,\mathrm{s}} = 2{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{m^3/s}.
O diâmetro é 400\,\mathrm{mm}=0{,}4\,\mathrm{m}, logo o raio é r=0{,}2\,\mathrm{m} e a área da base vale
A = \pi r^2 = \pi (0{,}2)^2 = 0{,}04\pi\approx0{,}1257\,\mathrm{m^2}.

Passo 3

Determinar o volume total do cilindro. Em 6 s recebe
V_{6} = Q \cdot 6 = 2{,}0\times10^{-3}\times6 = 0{,}012\,\mathrm{m^3},
que corresponde a 3/4 do volume total V. Assim
V = \frac{V_{6}}{3/4} = 0{,}012\cdot\frac{4}{3} = 0{,}016\,\mathrm{m^3}.
A altura total H do cilindro é
H = \frac{V}{A} = \frac{0{,}016}{0{,}04\pi} \approx0{,}1273\,\mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a queda livre da gota desde a saída até o fundo do cilindro. A saída fica 0{,}40\,\mathrm{m} acima da borda e o fundo está a mais H abaixo da borda, logo a distância total de queda é
h = 0{,}40 + H = 0{,}40 + 0{,}1273 = 0{,}5273\,\mathrm{m}.
A velocidade inicial de saída é v_0 = 2\,\mathrm{mm/s}=0{,}002\,\mathrm{m/s} para baixo.

Passo 5

Usar a equação de Torricelli generalizada (energia cinética ou MUV):
v^2 = v_0^2 + 2\,g\,h,
com g=9{,}8\,\mathrm{m/s^2}. Então
v = \sqrt{(0{,}002)^2 + 2\cdot9{,}8\cdot0{,}5273}\approx\sqrt{10{,}329}\approx3{,}21\,\mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular o tempo extra para encher o último quarto do volume. Falta volume
V_{\rm faltante} = \frac{V}{4} = \frac{0{,}016}{4} = 0{,}004\,\mathrm{m^3},
mamado pela mesma vazão Q, o tempo é
\Delta t = \frac{V_{\rm faltante}}{Q} = \frac{0{,}004}{2{,}0\times10^{-3}} = 2\,\mathrm{s}.
Assim o tempo total é
t_{\rm total} = 6\,\mathrm{s} + 2\,\mathrm{s} = 8\,\mathrm{s}.

Resposta

(a) 3{,}21\,\mathrm{m/s}
(b) 8\,\mathrm{s}

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