Calcule \frac{d f}{d t} das funções abaixo.
f(x, y)=x e^{y}, x=t^{2} e y=1-t.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=x\,e^{y}
e as parametrizações x(t)=t^{2} e y(t)=1-t.
O que precisamos é calcular a derivada total \frac{d f}{d t} usando a regra da cadeia.

Passo 2

Pela regra da cadeia para função de várias variáveis, temos
\frac{d f}{d t} =\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Agora calculamos cada termo:
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=e^{y},
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x\,e^{y},
\displaystyle \frac{dx}{dt}=2t,
\displaystyle \frac{dy}{dt}=-1.
Substituindo,
\frac{d f}{d t} =e^{y}\,(2t)+x\,e^{y}\,(-1) =e^{y}\,(2t - x).

Passo 3

Basta agora usar x=t^{2} e y=1-t:
\frac{d f}{d t} =e^{\,1-t}\bigl(2t - t^{2}\bigr) =t\,(2 - t)\,e^{\,1-t}.

Resposta

\frac{d f}{d t}=(2t - t^{2})\,e^{\,1-t}.

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