Calcule \frac{\partial f}{\partial s} e \frac{\partial f}{\partial t} das funções abaixo.
f(x, y)=\operatorname{sen}(x) \cos (y), x=s t^{2} e y=s^{2} t;

Passo 1

O enunciado dá a função composta
f(x,y)=\sin(x)\cos(y),
com
x = s\,t^{2} \quad\text{e}\quad y = s^{2}t.
Queremos as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial s} e \frac{\partial f}{\partial t}. O conteúdo aplicado é a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais de f em relação a x e y.
Como
f(x,y)=\sin(x)\cos(y),
temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\cos(x)\,\cos(y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =-\sin(x)\,\sin(y).

Passo 3

Agora calculamos \frac{\partial x}{\partial s} e \frac{\partial y}{\partial s}.
De x=s\,t^{2} segue
\frac{\partial x}{\partial s}=t^{2},
e de y=s^{2}t segue
\frac{\partial y}{\partial s}=2\,s\,t.
Pela regra da cadeia
\frac{\partial f}{\partial s} =\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s}.

Passo 4

Substituindo os resultados:
\frac{\partial f}{\partial s} =\bigl[\cos(x)\cos(y)\bigr]\,t^{2} +\bigl[-\sin(x)\sin(y)\bigr]\,2s\,t =t^{2}\cos(x)\cos(y)-2s\,t\,\sin(x)\sin(y).
Lembrando x=s\,t^{2} e y=s^{2}t, poderíamos deixar assim ou reescrever explicitamente em s,t.

Passo 5

Agora calculamos \frac{\partial x}{\partial t} e \frac{\partial y}{\partial t}.
De x=s\,t^{2} segue
\frac{\partial x}{\partial t}=2\,s\,t,
e de y=s^{2}t segue
\frac{\partial y}{\partial t}=s^{2}.
Pela regra da cadeia
\frac{\partial f}{\partial t} =\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t}.

Passo 6

Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial t} =\bigl[\cos(x)\cos(y)\bigr]\,2s\,t +\bigl[-\sin(x)\sin(y)\bigr]\,s^{2} =2s\,t\cos(x)\cos(y)-s^{2}\sin(x)\sin(y).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial s} =t^{2}\cos(x)\cos(y)-2s\,t\,\sin(x)\sin(y), \quad \frac{\partial f}{\partial t} =2s\,t\cos(x)\cos(y)-s^{2}\sin(x)\sin(y),
com x=s\,t^{2} e y=s^{2}t.

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