Calcule \frac{\partial f}{\partial s} e \frac{\partial f}{\partial t} das funções abaixo.
f(x, y)=e^{x} \cos (y), x=s t e y=\sqrt{s+t^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a função composta
f(x,y)=e^{x}\cos(y),
com as variáveis intermediárias
x=s\,t, \quad y=\sqrt{s+t^{2}}.
O conteúdo é derivada parcial de função de duas variáveis via regra da cadeia.

Passo 2

Pela regra da cadeia, as derivadas parciais de f em relação a s e a t são
\frac{\partial f}{\partial s} =\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s},
\frac{\partial f}{\partial t} =\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y:
\frac{\partial f}{\partial x} =e^{x}\cos(y),
\frac{\partial f}{\partial y} =-\,e^{x}\sin(y).

Passo 4

Calculamos as derivadas de x e y em relação a s e t:
\frac{\partial x}{\partial s}=t, \quad \frac{\partial x}{\partial t}=s,
\frac{\partial y}{\partial s} =\frac{1}{2}(s+t^{2})^{-\tfrac12}, \quad \frac{\partial y}{\partial t} =\frac{1}{2}(s+t^{2})^{-\tfrac12}\cdot 2t =\frac{t}{\sqrt{s+t^{2}}}.

Passo 5

Substituindo na regra da cadeia e voltando a x=st, y=\sqrt{s+t^{2}}, temos
\frac{\partial f}{\partial s} =e^{x}\cos(y)\,t \;+\; \bigl(-e^{x}\sin(y)\bigr)\,\frac{1}{2\sqrt{s+t^{2}}},
\frac{\partial f}{\partial t} =e^{x}\cos(y)\,s \;+\; \bigl(-e^{x}\sin(y)\bigr)\,\frac{t}{\sqrt{s+t^{2}}}.
Simplificando:
\frac{\partial f}{\partial s} =e^{st}\cos\bigl(\sqrt{s+t^{2}}\bigr)\,t -\frac{e^{st}\,\sin\bigl(\sqrt{s+t^{2}}\bigr)}{2\sqrt{s+t^{2}}},
\frac{\partial f}{\partial t} =e^{st}\cos\bigl(\sqrt{s+t^{2}}\bigr)\,s -\frac{e^{st}\,t\,\sin\bigl(\sqrt{s+t^{2}}\bigr)}{\sqrt{s+t^{2}}}.

Resposta

\boxed{ \frac{\partial f}{\partial s} =e^{st}\cos\bigl(\sqrt{s+t^{2}}\bigr)\,t -\frac{e^{st}\,\sin\bigl(\sqrt{s+t^{2}}\bigr)}{2\sqrt{s+t^{2}}}, }
\boxed{ \frac{\partial f}{\partial t} =e^{st}\cos\bigl(\sqrt{s+t^{2}}\bigr)\,s -\frac{e^{st}\,t\,\sin\bigl(\sqrt{s+t^{2}}\bigr)}{\sqrt{s+t^{2}}}. }

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