Calcule.
\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada em relação a x da função
\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}.
Informações dadas: a função é a soma de duas expressões racionais em x. Não há outros dados (como ponto específico); a tarefa é obter a expressão da derivada em termos de x.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever as frações como potências de x. Isso deixa a aplicação das regras de derivação direta e simples. Lembre-se que, para x\neq0,
\frac{1}{x}=x^{-1},\qquad \frac{1}{x^{2}}=x^{-2}.
Portanto a função fica
f(x)=x^{-1}+x^{-2}.

Passo 3

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma clara):
  • Regra da linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, para funções u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}.
  • Regra de potência (power rule): para um número real n e a variável x,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável independente e n é um expoente (pode ser inteiro negativo, fracionário etc.). Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.

Passo 4

Aplicando a linearidade à função f(x)=x^{-1}+x^{-2}, temos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}+x^{-2}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr).

Passo 5

Agora aplicamos a regra de potência a cada termo:
  • Para x^{-1}: pelo power rule, o expoente n=-1
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr) = -1\cdot x^{-1-1} = -1\cdot x^{-2} = -x^{-2}.
  • Para x^{-2}: com n=-2,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr) = -2\cdot x^{-2-1} = -2\cdot x^{-3} = -2x^{-3}.
Somando os dois resultados:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}+x^{-2}\bigr) = -x^{-2}-2x^{-3}.

Passo 6

Podemos escrever a resposta final em forma de fração comum e, se quisermos, fatorar para uma forma mais compacta. Convertendo de potências negativas para frações:
-x^{-2}-2x^{-3} = -\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}.
Fatorando -\dfrac{1}{x^{3}} fica
-\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}} = -\frac{x+2}{x^{3}}.
Todas as formas acima são equivalentes; a forma fatorada -\dfrac{x+2}{x^{3}} costuma ser a mais compacta.

Resposta

-\dfrac{x+2}{x^{3}}

Exercícios relacionados