Calcule.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada em relação a
da função
Informações dadas: a função é a soma de duas expressões racionais em
. Não há outros dados (como ponto específico); a tarefa é obter a expressão da derivada em termos de
.
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever as frações como potências de
. Isso deixa a aplicação das regras de derivação direta e simples. Lembre-se que, para
,
Portanto a função fica
Passo 3
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma clara):
- Regra da linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, para funções
e ,
- Regra de potência (power rule): para um número real
e a variável ,
Aqui
é a variável independente e
é um expoente (pode ser inteiro negativo, fracionário etc.). Exemplo rápido:
.
Passo 4
Aplicando a linearidade à função
, temos
Passo 5
Agora aplicamos a regra de potência a cada termo:
- Para
: pelo power rule, o expoente dá
- Para
: com ,
Somando os dois resultados:
Passo 6
Podemos escrever a resposta final em forma de fração comum e, se quisermos, fatorar para uma forma mais compacta. Convertendo de potências negativas para frações:
Fatorando
fica
Todas as formas acima são equivalentes; a forma fatorada
costuma ser a mais compacta.