Calcule.
\frac{d}{d x}\left(x+\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=x+\frac{1}{x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é f(x)=x+\dfrac{1}{x}.
  • O domínio natural da função é x\neq 0 (porque \dfrac{1}{x} não está definida em x=0).
  • A tarefa é encontrar \dfrac{d}{dx}\!\left(x+\dfrac{1}{x}\right).

Passo 2

Reescrever a parte \dfrac{1}{x} de forma que fique mais fácil aplicar regras de derivação. Usamos a propriedade de potências:
\frac{1}{x}=x^{-1}.
Então podemos escrever
f(x)=x+x^{-1}.

Passo 3

Apresentar a regra que será usada: a regra da potência e a linearidade da derivada.
  • Regra da potência: para qualquer real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x é a variável. Exemplo simples: se n=2, então \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
  • Linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas,
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=\frac{d}{dx}u(x)+\frac{d}{dx}v(x).

Passo 4

Aplicar a regra da potência termo a termo.
  • Para o termo x, que é x^{1}, usando a regra da potência com n=1,
\frac{d}{dx}(x)=1\cdot x^{1-1}=x^{0}=1.
  • Para o termo x^{-1}, usando a regra da potência com n=-1,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-1\cdot x^{-1-1}=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.

Passo 5

Somar as derivadas (linearidade) e simplificar para uma forma racional conveniente:
\frac{d}{dx}\!\left(x+x^{-1}\right)=1+(-x^{-2})=1-x^{-2}.
Escrevendo com fração com denominador comum x^{2}:
1-x^{-2}=\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}.
Lembrando que tudo vale para x\neq 0.

Resposta

\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}},\\ x\neq 0

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