Calcule.
\frac{d}{d x}\left(\frac{x^{2}+5}{x}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada
\frac{d}{d x}\left(\frac{x^{2}+5}{x}\right).
Informações dadas: a função cuja derivada se quer é \dfrac{x^{2}+5}{x}. Não há outras restrições fornecidas.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão antes de derivar (isso costuma facilitar muito na prova). Dividindo cada termo do numerador por x:
\frac{x^{2}+5}{x}=\frac{x^{2}}{x}+\frac{5}{x}=x+\frac{5}{x}.

Passo 3

Reescrever em potências para aplicar a regra de potência com facilidade:
x+\frac{5}{x}=x+5x^{-1}.
Lembrete de regras que vamos usar:
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
  • Regra do fator constante: a derivada de c\cdot f(x) é c\cdot f'(x), onde c é constante.
  • Regra da potência (power rule): para f(x)=x^{n} com n real, tem-se
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x a variável; por exemplo, para n=1 obtemos \dfrac{d}{dx}(x)=1.

Passo 4

Aplicar as regras termo a termo:
  • Para x (que é x^{1}), pela regra da potência com n=1:
\frac{d}{dx}(x)=1.
  • Para 5x^{-1}, usar fator constante e regra da potência com n=-1:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{-1}\bigr)=5\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=5\cdot(-1)x^{-2}=-5x^{-2}.
Somando as derivadas:
\frac{d}{dx}\left(x+5x^{-1}\right)=1-5x^{-2}.

Passo 5

Colocar o resultado em forma de fração com denominador x^{2} (opcional, para ficar mais parecido com a forma original):
1-5x^{-2}=1-\frac{5}{x^{2}}=\frac{x^{2}-5}{x^{2}}.

Passo 6

Verificação rápida usando a regra do quociente (só para confirmar): para u=x^{2}+5 e v=x, tem-se u'=2x, v'=1, e
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{2x\cdot x-(x^{2}+5)\cdot1}{x^{2}}=\frac{x^{2}-5}{x^{2}},
que coincide com o resultado encontrado.

Resposta

\displaystyle 1-\frac{5}{x^{2}}

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