Calcule
em cada caso (derivada implícita):
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
onde
depende de
(ou seja,
). O que se pede é calcular a derivada
em função de
e
.
Informações relevantes:
- A igualdade é válida para todo
(ou para os do domínio onde a equação faz sentido). -
é uma função implícita de ; ao derivar devemos tratar como e usar sempre que derivarmos termos que contenham .
Passo 2
Ideia da solução (sem calcular ainda): vamos derivar ambos os lados da igualdade
em relação a
. Como
depende de
, ao derivar o lado esquerdo usaremos a regra da cadeia e, dentro dela, a regra do produto para derivar
. No lado direito a derivada de
é
.
Antes de aplicar, lembro as fórmulas que vou usar:
- Regra da cadeia: se
é composta com , então . - Derivada do cosseno:
. - Regra do produto: se
, então .
Passo 3
Aplique a derivação em ambos os lados da equação. Escrevendo
também como
para simplificar, começamos por derivar o lado esquerdo
.
Defina
. Pela regra da cadeia,
Agora derivamos
usando a regra do produto (lembrando que
tem derivada
e
tem derivada
):
Portanto a derivada do lado esquerdo é
Passo 4
Derivando o lado direito
em relação a
obtemos simplesmente
Igualando as duas derivadas (derivada de ambos os lados da equação original) temos:
Passo 5
Agora resolvemos essa equação para
. Primeiro expandimos o lado esquerdo:
Colocamos todos os termos com
no mesmo lado:
Fatorando
no lado esquerdo:
Finalmente isolamos
dividindo pelo fator
:
Podemos simplificar o sinal multiplicando numerador e denominador por
, ficando numa forma mais usual:
Passo 6
Comentário prático: essa é a expressão da derivada implícita. Em ponto(s) onde
a fórmula dá divisão por zero — nesses pontos a derivada pode não existir ou exigir análise adicional (por exemplo, verificar continuidade e limite). Fora isso, para calcular numericamente
basta substituir os valores de
e
na expressão final.