Calcule \frac{d y}{d x} em cada caso (derivada implícita):
\cos (x y)=y

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
\cos(xy)=y,
onde y depende de x (ou seja, y=y(x)). O que se pede é calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} em função de x e y.
Informações relevantes:
  • A igualdade é válida para todo x (ou para os x do domínio onde a equação faz sentido).
  • y é uma função implícita de x; ao derivar devemos tratar y como y(x) e usar \dfrac{dy}{dx} sempre que derivarmos termos que contenham y.

Passo 2

Ideia da solução (sem calcular ainda): vamos derivar ambos os lados da igualdade \cos(xy)=y em relação a x. Como y depende de x, ao derivar o lado esquerdo usaremos a regra da cadeia e, dentro dela, a regra do produto para derivar x y. No lado direito a derivada de y é \dfrac{dy}{dx}.
Antes de aplicar, lembro as fórmulas que vou usar:
  • Regra da cadeia: se F(u) é composta com u(x), então \dfrac{d}{dx}F(u(x)) = F'(u(x))\cdot u'(x).
  • Derivada do cosseno: \dfrac{d}{du}\cos u = -\sin u.
  • Regra do produto: se u(x)=a(x)b(x), então u'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x).

Passo 3

Aplique a derivação em ambos os lados da equação. Escrevendo \dfrac{dy}{dx} também como y' para simplificar, começamos por derivar o lado esquerdo \cos(xy).
Defina u(x)=x y(x). Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big[\cos(xy)\big] = -\sin\big(xy\big)\cdot \frac{d}{dx}\big(xy\big).
Agora derivamos xy usando a regra do produto (lembrando que x tem derivada 1 e y tem derivada y'):
\frac{d}{dx}\big(xy\big) = x\cdot y' + y\cdot 1 = x y' + y.
Portanto a derivada do lado esquerdo é
\frac{d}{dx}\big[\cos(xy)\big] = -\sin(xy)\big(x y' + y\big).

Passo 4

Derivando o lado direito \,y\, em relação a x obtemos simplesmente
\frac{d}{dx}(y)=y'.
Igualando as duas derivadas (derivada de ambos os lados da equação original) temos:
-\sin(xy)\big(x y' + y\big) = y'.

Passo 5

Agora resolvemos essa equação para y'. Primeiro expandimos o lado esquerdo:
- x\sin(xy)\,y' \;-\; y\sin(xy) \;=\; y'.
Colocamos todos os termos com y' no mesmo lado:
- x\sin(xy)\,y' \;-\; y' \;=\; y\sin(xy).
Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\big(-x\sin(xy) - 1\big) = y\sin(xy).
Finalmente isolamos y' dividindo pelo fator -x\sin(xy)-1:
y' = \frac{y\sin(xy)}{-x\sin(xy)-1}.
Podemos simplificar o sinal multiplicando numerador e denominador por -1, ficando numa forma mais usual:
\frac{dy}{dx} = y' = -\frac{y\sin(xy)}{1 + x\sin(xy)}.

Passo 6

Comentário prático: essa é a expressão da derivada implícita. Em ponto(s) onde 1 + x\sin(xy)=0 a fórmula dá divisão por zero — nesses pontos a derivada pode não existir ou exigir análise adicional (por exemplo, verificar continuidade e limite). Fora isso, para calcular numericamente \dfrac{dy}{dx} basta substituir os valores de x e y na expressão final.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{y\sin(xy)}{1 + x\sin(xy)}

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