Calcule \frac{d^{2} y}{d x^{2}} sabendo que y=\cos 6 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a segunda derivada de
y=\cos 6x
ou seja, \frac{d^{2}y}{dx^{2}}. Vamos usar a regra da cadeia, que diz que ao derivar uma função composta f(g(x)) obtemos f'(g(x))\cdot g'(x).

Passo 2

Primeiro encontramos a primeira derivada y'. Como a derivada de \cos u é -\sin u e aqui u=6x com u'=6, temos
y' = \frac{dy}{dx} = -\sin(6x)\,\cdot 6 = -6\sin(6x).

Passo 3

Agora derivamos y' para obter a segunda derivada y''. A derivada de \sin(6x) é \cos(6x) \cdot 6, logo
y'' = \frac{d}{dx}\bigl(-6\sin(6x)\bigr) = -6 \bigl(\cos(6x)\cdot 6\bigr) = -36\cos(6x).

Resposta

\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -36\cos(6x).

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