Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável e seja g(x)=f(\operatorname{sen} x). Calcule g^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right) supondo f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=8.

Passo 1

O enunciado diz que f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é derivável e define g(x)=f(\operatorname{sen} x). Pede-se g'\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) sabendo que f'\bigl(\tfrac12\bigr)=8. Vamos usar a regra da cadeia para compor derivadas.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para g(x)=f\bigl(\operatorname{sen} x\bigr), temos
g'(x)=f'\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)
e como \frac{d}{dx}(\operatorname{sen} x)=\cos x,
g'(x)=f'\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)\,\cos x.

Passo 3

Agora avaliamos em x=\tfrac{\pi}{6}: \operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac12 e \cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Como f'\bigl(\tfrac12\bigr)=8,
g'\Bigl(\tfrac{\pi}{6}\Bigr) =8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =4\sqrt{3}.

Resposta

4\sqrt{3}

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